Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir hatten letztes Mal angefangen uns mit einem ganz anderen,

aber mindestens genauso wichtigen Aspekt wie die asymptotische Betrachtung eines Verfahrens zu

beschäftigen. Nämlich der Frage, ist der Verfahren für die konkrete Schrittweite,

die ich eigentlich nehmen möchte, aus welchen Gründen auch immer, weil das meine Ressourcen

hergeben, weil das die Schrittweite ist, von der ich glaube, dass sie die nötige Genauigkeit

gibt, ist das Verfahren dann stabil und haben hoffentlich zum Erschrecken festgestellt,

dass das explizite Euler-Verfahren dadurch erhebliche Defizite hat. Wir werden gleich sehen,

diese Defizite haben in unterschiedlichem Maße alle expliziten Verfahren. Das ist

ein prinzipielles Problem. Und was haben wir als Defizit identifiziert? Wir haben uns angeschaut,

ein lineares Modellproblem, das heißt ein lineares System. Wir können das uns natürlich

auch als Linearisierung eines nicht linearen Systems vorstellen. Dann wissen wir im linearen

Fall, die Lösungskomponenten werden über die Eigenvektoren und Eigenwerte der Systemmatrix,

so sie diagonalisierbar ist, bestimmt. Im nicht diagonalisierbaren Fall kommen noch ein paar

Zusatzeffekte dazu, wie Sie vielleicht schon mal gehört haben, aber es ist im Prinzip das Gleiche.

Das heißt also, wir haben unterschiedliche Effekte, je nachdem, ob die Realteile der

Eigenwerte positiv, exponentiell wachsende Anteile oder negativ, exponentiell fallende

Anteile sind, eigentlich sind fallende Anteile schön. Wenn sie besonders stark fallen, sind sie

de facto sehr schnell aus der Lösung heraus, also eigentlich gar nicht zu berechnen, aber sie können,

wie wir gesehen haben, eben die Schrittweite nach unten beeinflussen beim expliziten Euler

Verfahren. Das haben wir jetzt ein bisschen quantifiziert, diese Begrifflichkeiten. Also

wir schauen uns Verfahren an, die angewendet auf das lineare Testproblem mit der Systemmatrix Q,

diese Einschrittverfahren, die diese Gestalt annehmen, yj plus eins gleich g, h mal q, yj,

g ist dabei eine Funktion, die analytisch ist in der Nähe der Null, also wir können uns hier

also eine Potenzreihe vorstellen, dann wissen wir, was die Potenzreihe ausgewertet an der

Matrix H mal Q ist. In unserem Fall werden das rationale Funktionen sein, da ist das noch ein

bisschen direkter, wie das hier zu verstehen ist. Und genauso wie wir jetzt im kontinuierlichen

Fall diese Darstellung der Lösungsdarstellung mit exponentiellen Komponenten haben, haben wir in

diesem Fall die Lösungsdarstellung, erstmal was einen Schritt betrifft, über die Verstärkungsmatrix

ghq, beziehungsweise was dann J-Schritte betrifft, irgendwie die betreffende Potenz. Also diese

Matrix ghq tritt also an die Stelle der Matrix E von H mal Q, das heißt das Ganze reduziert sich

auf die Frage, in welcher Güte und in welcher Form approximiert die Matrix G die Exponentialfunktion.

Also wir sind zurück auf eine klassische Frage der Approximationstheorie, wie kann ich mit

rationalen Funktionen die Exponentialfunktionen approximieren. Okay, also besonders kritisch sind

eben Steifesysteme, die solche stark abfallenden Komponenten haben, die man einfach gar nicht mehr

sieht, aber die dennoch sozusagen gegebenenfalls die Schrittweite beschränken. Und um das zu

vermeiden und eben auch Steifesysteme handeln zu können, fordern wir jetzt, haben wir als

Eigenschaft für Verfahren den Begriff der absoluten Stabilität formuliert, das soll bedeuten,

dass der Bereich der absoluten Stabilität, also der Bereich, wo das Verfahren eine abfallende

Lösung produziert, das ist genau der Bereich, wo G von Z im Einheitskreis um die Null herum

liegt, im Komplexen, zu diesem Bereich soll die ganze linke Halbebene gehören. Das heißt ganz

egal, es ist also nicht zugeschnitten auf irgendein Problem, sondern wir wollen ja alle Qs behandeln,

jede mögliche abfallende Komponente, jeder mögliche Eigenwert mit Realtall kleiner Null

soll ein Lösungsverhalten nach sich ziehen, wo das G von Z oder das G von H mal Q dann genauer

kleiner als 1 ist, wo also dann die Lösungskomponente abfallend ist. Gut, das explizite

Euler ist bestimmt nicht absolut stabil, das implizite Euler ist es, wir haben uns die

Stabilitätsbereiche angeschaut und haben den Begriff verstärkt zum Begriff der L-Stabilität,

L-Stabilität heißt jetzt doch ein bisschen mehr, das heißt A stabil und zusätzlich soll gelten,

dass Lösungskomponenten, die zu Eigenwerten gehören, mit negativen Realtall, wo aber der

Betrag dieses Realtalls sehr groß ist, also zu Deutsch extrem hochfrequenten Eigenfunktionen,