Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Fangen wir mal an. Sie sehen, ich bin nochmal jetzt einen Schritt zurückgegangen und schuld daran ist

der Herr Brunner, der hat mich nämlich auf einen Fehler hingewiesen, den ich hatte oder eine

Ungenauigkeit zumindest im Rahmen der Darstellung der Extrapolationsverfahren. Also wir gehen nochmal

zu den Extrapolationsverfahren kurz zurück. Hier sehen Sie nochmal die allgemeine Situation,

wie der wir gestartet sind. Wir haben nicht nur eine Fehlerabschätzung, sondern eine Entwicklung

des Fehlers, wobei wir im Idealfall sogar dann eine Entwicklung in dem allerbesten Fall nicht

nur eine Entwicklung des Fehlers in H, sondern in Potenzen von H, wobei ich eigentlich nichts

anderes kenne als H². Also man darf sich auch nicht zu viel erwarten und das heißt also,

man weiß der Fehler verhält sich bis auf einen Term höherer Ordnung wie ein Polynomen. Es ist

aber und da liegt jetzt die Ungenauigkeit, die ich gemacht habe in der Darstellung. Wie wir sehen,

ist das ja im Allgemeinen kein einfach ein Polynom P plus K minus 1 Grad, sondern im Allgemeinen sind

ja unsere Verfahren schon von höherer als erster Ordnung oder von zweiter Ordnung, wenn z gleich

H² ist, das heißt das fängt hier wirklich mit einer Potenz P größer als 1 an. Das heißt,

wir haben hier eine Lücke in der Darstellung. In der praktischen Anwendung ist das tatsächlich

nicht so, denn da hatten wir gesagt, es macht wenig Sinn jetzt auf schon sehr hochgenaue und

aufwändige Verfahren, Extrapolationsverfahren loszulassen, schon deswegen, weil im Allgemeinen die

Fehlerabschätzung die die Basis ist und nur unter deren Voraussetzung das überhaupt irgendetwas

bringt, im Allgemeinen nicht gilt oder zumindest nicht bekannt ist. Das heißt also in der Anwendung

ist dann hier wieder letztendlich P gleich 1 und alles ist in Ordnung, was ich gesagt habe. In dem

Fall, wo aber P nicht gleich 1 ist, dann ist eine Stelle nicht ganz richtig, nämlich die Frage,

wie führt man das Verfahren tatsächlich durch. Die erste Frage ist natürlich erst mal, wenn ich

jetzt nicht einen vollen Polynomraum nehme, sondern einen neu definierten Polynomraum dieser Bauart,

ich gehe bis zu einem festen Grad und habe hier gewisse Monome ausgelassen, kann ich mit denen

genauso interpolieren, wie ich sozusagen gewohnt bin mit dem vollen Polynomraum zu interpolieren.

Das heißt, ist die Interpolationsaufgabe eindeutig lösbar in dem Falle, wie viel hätte ich dann,

hier hätte ich halt eben nicht P plus K Freiheitsgrade, sondern es würden mir halt die

Freiheitsgrade, würden mir halt von 1 bis P minus 1, es würde mir P minus 1 Freiheitsgrade fehlen,

wenn ich entsprechend viele Werte dann vorgebe, kann ich dann noch genauso eindeutig interpolieren.

Diese Frage haben Sie schon auf dem Übungsblatt bearbeitet, wo es darum ging, ja, da ging es

letztendlich um diese Frage. Einmal, was man sofort sieht, dieser jetzt sozusagen hier neu

definierte Raum ist, Polynomraum ist genauso ein Vektorraum, wirklich genau mit der Dimension

eben um diese fehlenden Freiheitsgrade hier verringert und vielleicht erinnern Sie sich,

wenn man jetzt sozusagen ganz direkt ansetzt und sich fragt, ist denn die Polynom interpolationsaufgabe

lösbar, kommt man auf ein Gleichungssystem, wo die Matrix, wenn man es jetzt in Monomen schreibt,

wo die Matrix die Fandermonte Matrix ist. Da diese Matrix invertierbar ist, die Fandermonte

determinant ist, wäre ein Argument zu sehen, dass eben im klassischen Fall die Interpolationsaufgabe

eindeutig lösbar ist. In dem Falle ist das genauso und das war Inhalt der Übungsaufgabe.

Okay, das heißt also wir können im Prinzip, wir können genauso vorgehen, wir können also selbst

in dem Fall, wo P größer als 1 ist, wenn wir tatsächlich unser Basisverfahren nicht Ordnung 1

oder 2 hat und 2 bei entwicklbarkeit in h², sondern meinetwegen mit Ordnung h hoch 5 starten,

können wir genauso Extrapolation machen, wenn wir wollen und wenn das abgesichert ist. Nur was wir

nicht machen können und das ist der, das war mir in dem Moment auch nicht bewusst, ich musste dann

auch noch mal hinschauen, wie überhaupt der Beweis ging, dass die nächste Behauptung war ja,

wir werten das Interpolationspolynom an der Stelle 0, das ist da, wo es uns interessiert,

mit dem Atkin-Nevel-Verfahren aus. Und das gilt tatsächlich nur, wenn wir einen vollen

Polynomraum haben. Schauen wir uns noch mal die Atkin-Nevel-Formel an. Vielleicht kommt sie mal

hier irgendwann. Da steht sie zum Beispiel. Diese Rekursionsformel, die wurde dadurch hergeleitet,

dass man die Identität, wenn Sie sich daran vielleicht erinnern, ich muss auch noch mal

nachschauen, die Identität zwischen verschiedenen Interpolationspolynomen sichert. Und was passiert,