Gut, grüß Gott zusammen, fangen wir an. Wir hatten letztes Mal als kleinen Einschub uns mit

nicht-linearen Problemen in der Fixpunkt-Form befasst, haben noch mal die Fixpunkt-Iteration,

die Sie schon aus der Analysis und sonst anderweitig kennen, in Erinnerung gerufen und

gesehen unter welchen Bedingungen diese konvergiert. Das Stichwort ist also, die Fixpunkt-Funktion

muss eine Kontraktion sein und diese Kontraktionskonstante, die Lipschitz-Konstante kleiner eins bestimmt

wesentlich das lineare Konvergenzverhalten. Jetzt hatten wir uns auch überlegt, dass es

vielleicht sinnvoll ist, über die direkten Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen,

die wir kennengelernt haben, auch zu versuchen, iterative Verfahren, Verfahren, die auf eine

Fixpunkt-Formulierung des Gleichungssystems aufbauen und dann eben eine Fixpunkt-Iteration

uns anzuschauen. Und ein paar einfache Beispiele haben wir schon gesehen. Zum Beispiel dieses

Beispiel, das ist das Jacobi- oder Gesamtschrittverfahren. Hier bringt man sozusagen den Diagonalanteil

auf die linke Seite, teilt durch das Diagonalelement, das als von null verschieden vorausgesetzt

werden kann, wenn die Matrix nicht singulär ist, was hier im Folgenden immer der Fall sein

soll, durch. Und dann hat man eine Fixpunkt-Form, über die man iterieren kann. Eine Variante

davon ist dann, wenn man sagt, okay, ich leg mich sowieso auf eine Reihenfolge fest, in

der ich die Gleichungen durchlaufe, sagen wir mal von 1 durch N, kann aber genauso gut

von N bis 1 sein, dann weiß ich ja, wenn ich an einer gewissen Stelle I bin, dann habe

ich einen Teil der komponenten der neuen iterierten schon berechnet, die sind ja vielleicht besser

als die alte iterierte, warum benutze ich die nicht gleich. Und das wäre jetzt nochmal

die entsprechende Iteration, das Jacobi- oder Gesamtschrittverfahren. Wenn ich jetzt, sagen

wir von 1 bis N, die Gleichungen durchgehe und dann bei den Komponenten I bis I minus

1, ich bin bei der I-Komponente, die die Komponenten der neuen iterierten schon benutze, dann bin

ich beim Gauss-Seitel- oder Einzelschrittverfahren. Wir können diese Verfahren oder generell

auch die nachfolgenden Verfahren sehr kompakt schreiben, wenn wir die Matrix direkt additiv

zerlegen, hat also nichts mit LR-Zerlegung zu tun, in das untere Dreieck, in das echte

untere Dreieck L, in den Diagonalanteil D und das echte obere Dreieck R. In diesem

Sinne ist dann das Jacobi-Verfahren, die Fixpunktform, wo der D mal X-Anteil auf der linken Seite

stehen geblieben ist. Das heißt, wir sehen hier auch schon ein Gleichungssystem, was

zu lösen ist, um eben einen Iterationsschritt machen zu können, denn das steckt ja in diesem

D hoch minus 1 drin. Das ist halt hier ein sehr, sehr einfaches Gleichungssystem, was

wir kaum merken mit der Diagonalmatrix, was sich nur im Durchdividieren mit den Diagonalelementen

bemerkbar macht. Beim Gauss-Seidel-Verfahren, man kann ja so sagen, links ist sozusagen

immer das, wo die neue Etablierte was mit zu tun hat, rechts ist der Anteil, wo die alte

Etablierte was mit zu tun hat. Im Gauss-Seidel-Verfahren nehmen wir ja auch die Komponenten bis zum

Index I, nicht nur als neue Komponenten, also nicht nur die mit dem Index I. Das heißt

also aus dem D wird hier ein D plus L auf der linken Seite. Das heißt, das ist dann

die entsprechende Fixpunktform, das beziehungsweise aufgelöst so, beziehungsweise Iteration so.

Und jetzt sieht man das Gleichungssystem, was hier eigentlich zu lösen ist, ist eigentlich

ein gestaffeltes Gleichungssystem in jedem Iterationsschritt, aber diese Vorwärtssubstitution,

die hier zu machen ist, die steckt sozusagen schon in der Art drin, wie wir die Iteration

hingeschrieben haben. Also tatsächlich ist der Aufwand zwischen dieser Iteration und

jener Iteration identisch. Gut, jetzt wollen wir das allgemein machen. Das heißt, wir

setzen mal an für eine Iterationsfunktion, machen wir einen Ansatz und natürlich könnte

man sich jetzt auch überlegen, vielleicht nicht-lineare Funktionen, die nicht-linear

in x sind, sich zu überlegen, aber da wir ein lineares Problem haben, ist vielleicht

erstmal ein lineare Ansatz recht naheliegend und wir setzen die Iterationsfunktion als

Linear in x und Linear in b an. Das heißt also, wir haben erst einmal unbekannte Matrizen

oder freie Matrizen m und n, die auf diese Art und Weise als mx plus nb die Iterationsfunktion

definieren sollen. Wenn ich jetzt irgendwelche Matrizen m und n nehme, dann habe ich vielleicht

ein schönes konvergentes Verfahren, zum Beispiel wenn ich m und n gleich 0 nehme, dann ist