Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten letztes Mal gesehen, dass bei der Frage der Stabilität bei linearen

Gleichungssystemen, bei quadratischen linearen Gleichungssystemen die Konditionszahl der Matrix

der wesentliche Begriff ist, der die relative Fehlerverstärkung beschreibt und ist jetzt

naheliegend die gleiche Frage nochmal zu stellen, etwas allgemeiner für Ausgleichsprobleme.

Wer von Ihnen hat denn noch nie das Wort Ausgleichsprobleme gehört?

Aha, was studieren Sie denn im zweiten Fach?

Diejenigen, die das nicht gehört haben?

Wirtschaft, okay, was noch?

Astronomie, das heißt Sie haben Physikpraktikum gemacht?

Nein, haben Sie nicht?

Was macht man dann in der Astronomie, wenn man kein Physikpraktikum macht?

Sie haben das astronomische Praktikum gemacht?

Auch nicht, okay.

Sonst noch Varianten?

Informatik, Physik, da haben Sie das Physikpraktikum gemacht, da haben Sie ja schon Ausgleichsprobleme

gelöst.

Also Sie haben es ja schon gelöst, aber Sie wissen nicht, was es ist.

Okay, ich mache eine kurze Zusammenfassung.

Es ist, ich kann mir zwar nicht vorstellen, wie man eine Mathematik studieren kann, ohne

das Wort Ausgleichsproblem gehört zu haben, aber ich will jetzt Ihnen da auch keinen Vorwurf

draus machen.

Das ist ein Problem, das sofort auftritt, wenn man, ja, wo tritt das im Physikpraktikum

erste Stunde erste Versuchsauswertung auf?

Man hat einen, man hat zwei Größen, man misst den Zusammenhang zwischen diesen Größen

und aus theoretischen Überlegungen oder woher auch immer glaubt man, dass es einen linearen

Zusammenhang zwischen den Größen gibt.

Jetzt misst man zum Beispiel hier, es reicht doch nicht ganz aus, um einen linearen Zusammenhang

zu bestimmen.

Jetzt misst man nochmal, wunderschön, zwischen den Größen gibt es einen linearen Zusammenhang.

Dummerweise gibt es den immer, wenn ich zwei Wertepaare habe.

Jetzt misst man nochmal und jetzt sieht man hoppla, da passt doch was nicht.

Und es passt halt deswegen was nicht, weil die Größen fehlerbehaftet sind und deswegen

eben diese Paare an Werte eben nicht auf einer Gerade liegen.

Das heißt also, es gibt keine Gerade, die eben durch alle diese Paare hindurch geht,

nichtsdestotrotz macht man was, was dann vielleicht gegebenenfalls so aussieht.

Das heißt, was man macht, ist man schaut sich in der Bestimmungsgleichung für sozusagen

die beiden Parameter in der Gerade die jeweilige Gleichung an, die hier individuell nie erfüllt

ist.

Man schaut sich die Fehler in den einzelnen Komponenten an und ja, das ist das Stichwort

kleinste Quadrate, was ja angeblich Herrn Gauss in seiner Hochzeitsnacht eingefallen

ist, das Konzept, deswegen muss er nochmal schnell an den Schreibtisch.

Er war ja damals gerade damit befasst, die Bahn von einen Planetuiden wiederzufinden,

die verloren gegangen war und da hat er sich eben genau diese Frage gestellt, das war

eine Gerade, die er da angepasst hat, aber er hat sich eine ganz analoge Frage gestellt

und so kam er eben zur Methode der kleinsten Quadrate.

Was heißt das also?

Jetzt ein kleines bisschen abstrakter, wir haben ein Gleichungssystem A x gleich b und

typischerweise ist das ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten.

Sagen wir M größer N.