Ich erinnere jetzt nochmal daran, was ich jetzt hier und im Folgenden schon verwendet habe und im

Folgenden verwenden werde. Wie gesagt, soweit es möglich und sinnvoll ist, schreibe ich die

Aussagen allgemein für reelle und komplexe Vektorräume auf. Wenn sie mit den komplexen

Vektorräume nicht so vertraut sind, ist das kein größeres Problem, dann denken sie sich

halt immer, da geht nicht so schrecklich viel verloren. Also das ist mit dem Kame-Doppelstrich

gemeint. Der MN-Matrizenraum sieht dann so aus mit den Dimensionen in Klammern, oben Indizes

unten wie gehabt. Was ich auch durchgängig benutze, ist zum einen die Spalten-Schreibweise

für eine Matrix, da sehen die Indizes in Klammern oben, das heißt die a oben 1 bis a oben n

sind die Spalten der Matrix, sind also jetzt hier in dem Falle Tupel aus dem KM und N Stück

und wenn ich die Zeilen meine, dann schreibe ich die Indizes unten in Klammern, da aber

Zeilen, da ich aber immer von Elementen des Tupelraums rede und Elemente des Tupelraums

immer per Definition im Spalten, als Spalten geschrieben werden, muss ich das, wenn ich

wirklich die Zeilen haben will, diese Objekte hier noch transponieren. Das transponieren

wird mit dem kleinen T geschrieben, kann man natürlich auch mit einem großen T oder was

auch immer machen. Ich habe jahrzehntelang das große T benutzt und mich dann mühselig

auf das kleine T umgestellt, aber man muss ja auch noch ein bisschen flexibel sein im

Alter und auch in der Jugend. Okay, dann gibt es die konjugierte Matrix, die gibt es nur

im Komplexen, im Reellen ist das natürlich das gleiche, indem ich komponentenweise das

Komplex konjugierte bilde und darauf aufbauen dann die adjungierte Matrix, die beide Prozesse

beinhaltet, das Konjugieren und das Transponieren. Das ist also die Matrix, deswegen im adjungierten

Matrix, die im dann Komplexen oder auch Reellen, dann fällt das Konjugieren weg, euklidischen

Skalarprodukt durch das Skalarprodukt durchwandert. Deswegen auch die Begrifflichkeit selbst

adjungiert als allgemeine, als einheitliche Sprechweise für symmetrische bzw. Hermitische

Matrizen. Okay, ja, die adjungierte und das ist natürlich im Tafelaufschrieb ein bisschen

kritisch, bezeichne ich mit diesem Kreuz. Das Kreuz kann natürlich leicht zu einem Plus

werden, ich bemühe mich da zwar immer, aber das Plus habe ich für was anderes reserviert.

Da mancher, ich habe gestern ein Buch aufgeschlagen, da war der für das Stern verwendet oder manche

nehmen dann auch glaube ich ein großes H, also das ist in jedem Buch, in jeder Niederschrift

anders und da muss man sich halt auf irgendwas einigen. Inverse ist klar, glaube ich, die

Einheitsmatrix schreibe ich nicht mit E, sondern jetzt auch neuerdings, nachdem ich sie auch

jahrzehntelang mit E geschrieben habe, eins mit Doppelstrich und A Plus ist dann eben

die Pseudoinverse, wie kennengelernt oder erinnert und das Tensorprodukt zweier Matrizen

ist jetzt A mal B adjungiert. Also das heißt im Komplexen ist, wenn die Elemente von B

konjugiert, das ist vielleicht in anderen Quellen anders, da schreibt man ganz, es

könnte Ihnen auch begegnen, dass man unter Tensorprodukt, ganz egal in welchem Körper

immer versteht, A mal B transponiert. Ich habe diese Definition gewählt, weil dann das,

was hier steht, eben als Projektion interpretierbar ist. Dann haben wir eben im Allgemeinen eine

Projektion für verschiedene A und B und wenn A und B gleich sind, haben wir eine autogonale

Projektion. Okay, das sind jetzt Notationen, die gar nicht so oft vorkommen werden, aber

ich habe sie zur Vollständigkeit halber mal aufgeschrieben, bin mir gar nicht sicher,

ob ich sie groß verwenden werde. Das haben wir schon kennengelernt, wenn man Matrizen

oder auch Vektoren, Vektoren als spezielle Matrizen sozusagen komponentenweise anordnen

wollen oder komponentenweise vergleichen, dann entsteht eine Halbordnung, in der bedeutet

A größer gleich Null, dass eben alle Komponenten größer gleich Null sind und analog ist eben

dann A größer gleich B definiert. Das einzige, was man hier aufpassen muss, typischerweise,

wenn man A größer Null hier meint, meint man eben nicht, wie man das in den reellen

oder komplexen Zahlen hat, größer gleich Null und nicht Null, sondern man meint hier

wirklich alle Komponenten größer Null. Es gibt eine zweite Halbordnung auf dem Raum

der, das ist jetzt hier nicht dazugeschrieben, auf dem Raum der selbstadjungierten Matrizen

dann, dadurch, dass ich fordere, dass die Matrix, also dieses A mit dem anderen, diesem