Wir fangen heute ein neues Thema an und dieses Thema nennt sich Stabilität.

Da haben Sie vielleicht intuitiv eine Vorstellung davon, um was es da wohl gehen könnte.

Wir wollen das heute ein bisschen formalisieren.

Okay.

Also, elastische Stabilität.

Was geht es da?

Wir stellen eben fest, dass speziell unter Druckbeanspruchung es zu verschiedenen Formen des Stabilitätsversagens kommen kann.

Und Beispiele.

Dafür sind etwa das Ausknicken von längsbelasteten Balken oder Stäben.

Wenn Sie das so draufdrücken, dann stellen Sie fest, wenn Sie es nur stark genug draufdrücken, dann kann es durchaus passieren, dass dieser Stab auf einmal so ausknickt.

Das nennen wir Knicken.

Das können wir hier direkt mal versuchen nachzustellen.

Hier haben wir einen ziemlich schwabeligen Stab und wenn ich den also nur genügend stark von oben durch eine Drucklast belaste, dann knickt er so aus.

Der könnte theoretisch auch gerade bleiben und natürlich einfach in seiner geraden Form die Last tragen, die jetzt auf ihm ruht, so dass also zu Gleichgewicht kommt oder das Gleichgewicht herrscht.

Aber offensichtlich kann er auch in dieser ausgeknickten Form hier die Last tragen, so dass es dort zu Gleichgewicht kommt.

Also eine Beobachtung, die wir hier speziell machen, ist das Folgende.

Das wäre in diesem Fall einfach, dass der Stab gerade bleibt, offensichtlich auch noch eine benachbarte zweite Gleichgewichtslage möglich ist.

Neben der trivialen Gleichgewichtslage ist auch eine benachbarte Gleichgewichtslage möglich.

In diesem konkreten Fall hier wäre das Weiße, das wäre die triviale Gleichgewichtslage unseres Balkens hier und das Gelbe entsprechend wäre eben dann die benachbarte oder nicht triviale Gleichgewichtslage.

Wir stellen auch fest, dass das jetzt nicht für jede Last möglich ist, speziell wenn die Lasten eben sehr sehr klein sind.

Dann, wenn die klein genug sind, dann kann ich einfach mal probieren, ob ich diesen Stab mal auslenke und der wird dann einfach wieder zurückkommen in die, sag ich mal, triviale Gleichgewichtslage.

Wenn ich stark genug drücke und der bleibt ursprünglich gerade, das ist ein bisschen tricksen, und jetzt huste ich, das heißt dann bringe ich den hier aus einer Gleichgewichtslage, aus der trivialen raus,

dann schnappt er möglicherweise in eine zweite Gleichgewichtslage.

Das heißt, und wenn ich in dieser bin, jetzt kann ich meinetwegen nochmal husten, ein bisschen dran rütteln, dann kommt er aber immer wieder zurück.

Also wir beobachten noch was weiteres hier, nämlich dass die Gleichgewichtslagen unterschiedliche Geschmäcker haben können, nämlich dass die entweder stabil sein können oder instabil.

Oder indifferent sein.

Ja, und um das mit einem ganz einfachen Beispiel hoffe ich jedenfalls, dass es einfach ist, zu illustrieren, die Begriffe.

Eine Gleichgewichtslage, die stabil ist, das wäre zum Beispiel, wenn Sie gerade eben in der Mensa waren und haben dort vielleicht ein Stück Obst gegessen, vielleicht einen kreisrunden Apfel.

Moment, also einen blauen Apfel, ja, dann hat der hier in diesem Topf seine Gleichgewichtslage, wenn er unten liegt, wenn Sie das machen, was ich eben gesagt habe, Sie husten oder schütteln da dran,

dann wackelt er vielleicht hier hoch und runter, aber er kommt immer wieder zurück in die Gleichgewichtslage.

Das heißt, diese Gleichgewichtslage ist stabil. Kleine Störungen führen dazu, dass er nach einer Weile dann wieder zurückkommt.

Umgekehrt, eine instabile Gleichgewichtslage, da drehen Sie den Topf einfach hier auf den Kopf, legen hier oben Ihren Apfel ganz genau drauf, dann ist das auch eine Gleichgewichtslage,

der bleibt da ja, wenn Sie es perfekt machen, bleibt er da liegen. Wenn Sie es ein bisschen am Tisch zwitschen, dann bewegt er sich aus der Gleichgewichtslage heraus und kommt nicht mehr zurück.

Das nennen wir instabil. Und der Übergang dazwischen ist natürlich gerade so ein indifferentes Gleichgewicht, da weiß der Apfel nicht, was er machen soll.

Das wäre sozusagen, gerade wenn dieser Topf so gerade ist, also nur ein Tablett, wenn Sie hier den Apfel haben, wenn Sie den jetzt verschieben,

dann bleibt er hier zwar an einer anderen Stelle liegen, kommt nicht zurück, aber er wandert auch nicht unendlich weit weg. Und im Endeffekt, was wir jetzt hier betrachten wollen,

ist gerade dieser Übergang von stabilen Gleichgewichtslagen zu instabilen Gleichgewichtslagen. Und damit einhergehend, in diesem Fall können wir das sehen,

die Möglichkeit, das ist eben neben einer ursprünglichen trivialen Gleichgewichtslage, die zunächst mal stabil ist, das war dieser Fall,

das war dieser Fall, wenn ich hier noch nicht stark genug drücke, wenn ich das ein bisschen störe, kommt er zurück. Wenn ich stärker drücke,

dann gibt es erstens weiterhin diese Gleichgewichtslage, die ist dann aber auf einmal instabil, weil wenn ich da anticke, dann zwitscht die um.

Und es gibt eine zweite Gleichgewichtslage, die in diesem Fall dann die stabile wird. Gut, das wollen wir so ein bisschen formalisieren, bevor ich das tue,

deswegen schleppe ich eigentlich diese Seiten die ganze Zeit hier mit rum, noch schnell ein Hinweis, wo wir so etwas noch finden.

Also andere Möglichkeiten, wo wir Stabilitätsverhalten haben, wäre zum Beispiel das Kippen. Wir sprechen von Kippen, wenn so dünne Träger,

die von oben belastet werden, wenn die einfach so seitlich ausweichen etwa. Durchschlagprobleme haben sie etwa, wenn sie so Bogenträger haben,

und die von oben belasten, wenn sie stark genug drücken, dann zwitschen die so durch und hängen auf einmal so rum. Oder eben bei Platten, Schalen usw. spricht man auch von Boilen.

Alle diese drei Probleme sind für uns jetzt im Moment ein bisschen vielleicht zu anspruchsvoll, aber das Problem von dem Knicken so eines Balkens, das können wir durchaus behandeln.

Vielleicht sollte ich hier noch eine Sache sagen, wenn das also hier die Last F ist, dann können wir eben einfach in dieser Untersuchung feststellen, aha, solange die Last klein genug ist, kleiner als, sage ich mal, eine kritische Last,

da habe ich eben nur diese triviale weiße Gleichgewichtslage, das haben wir eben an dem Lineal da gesehen. Wenn die Last gerade identisch ist mit F-Krit, ja, dann gibt es auf einmal die Möglichkeit,

dass neben der weißen Gleichgewichtslage noch diese Gelbe hier einspringt, ja, okay, und was passiert, wenn F größer F-Krit ist, das werden wir gleich erst nochmal genauer feststellen.

Die Konsequenz ist jedenfalls im Endeffekt, dass sie immer nur zu bestimmten kritischen Lasten diese Möglichkeit haben, dass es eben zu diesen weiteren Gleichgewichtslagen kommt.