Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Das letzte, was wir gemacht haben, war, dass wir uns über die Frage der Biegung von Balken unterhalten haben.

Und da gibt es natürlich noch ein paar Punkte, die wir nachholen oder weiter vertiefen sollten.

So, okay. Gut, und dazu will ich Sie vielleicht nur ganz kurz zunächst noch mal erinnern an das, was wir gemacht haben.

Und das ist hier in diesem Arbeitsblatt zusammengefasst.

Das ist sozusagen das, was Sie wissen sollten oder zur Hand haben sollten.

Da sehen Sie oben noch mal verschiedene Möglichkeiten, um eben den Zusammenhang zwischen Schnittgrößen und verschiedenen Ableitungen der sogenannten Biegelinie, der elastischen Linie, eben darzustellen.

Ich hoffe, Sie können das lesen.

Hier, sag ich mal, die Mutter aller Darstellungen ist der Zusammenhang zwischen den Biegemomenten und der zweiten Ableitung der Biegelinie, der sogenannten Krümmung.

Der Faktor, der dazwischen steht, E mal I, das nennen wir ja die Biegesteifigkeit.

Gibt es da Beiträge von Ihrer Seite zu dem Thema?

Wenn nicht, Sie wissen schon, Klappe halten.

Und oftmals zum Beispiel zum Berücksichtigen der Randbedingungen ist es noch ganz gut, wenn man dann eben weiß, wie der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und den Querkräften etwa ist.

Das geht dann eben über die dritte Ableitung und insbesondere für die Berechnung von statisch unbestimmten Systemen, bei denen wir nicht vorab die Schnittgrößen bestimmen können, lediglich aus Gleichgewichtsbetrachtung.

Da empfiehlt es sich dann mit dieser Darstellung anzufangen, die eben die vierte Ableitung der Biegelinie verknüpft mit der Querbelastung.

Weil die Belastung kennt man ja und da muss man eben viermal integrieren.

Und daraus ergeben sich jetzt im Grunde zwei verschiedene Strategien, wie man eben die Biegelinie denn bestimmt, wie man da vorgeht.

Die Strategie A, die empfiehlt sich immer nur dann, wenn ich ein statisch bestimmtes System habe, also wo ich die Schnittgrößen einfach aus Gleichgewichtsbetrachtung wie im ersten Semester bestimmen kann.

Dann würde ich eben im Nachhinein diese Gleichung zwischen M und W2 gestrichen eben zweimal hoch integrieren, die entsprechenden Integrationskonstanten aus Rand- und Übergangsbedingungen bestimmen.

Und daraus schließe ich die Biegelinie angeben, wie die aussieht.

Für den Fall, dass ich entweder ein statisch unbestimmtes System habe oder vielleicht nicht im Vorfeld separat die Gleichgewichtsbedingungen anwenden möchte, die sind ja sozusagen da oben eingepreist in die Gleichung,

fange ich eben gleich an mit dem Zusammenhang zwischen Q und der vierten Ableitung, muss ich halt viermal integrieren und die entsprechenden vier Konstanten kann ich dann aus entsprechenden Rand- und Übergangsbedingungen gewinnen.

Damit kann ich dann die Biegelinie bestimmen und dann sozusagen im Nachhinein durch Berechnung der zweiten und der dritten Ableitung dann eben die Biegemomentenlinie und die Querkraftlinie bestimmen und damit dann eben auch im Endeffekt die Auflagereaktionen.

So können wir uns dann eben der Fragestellung der statisch unbestimmten Systeme nähern, wo ich das jetzt gerade sehe, das Thema Rand- und Übergangsbedingungen, vielleicht sollte ich das Ihnen auch nochmal ganz kurz auflegen,

das ist natürlich blöd, weil ich jetzt nochmal blättern muss, aber das haben wir gleich, das Thema Rand- und Übergangsbedingungen, das sind eben Stellen in meinem Tragwerk, an denen ich im Grunde die Lösung kenne,

wir unterscheiden da zwei Arten von Rand- und Übergangsbedingungen, das sind einmal Aussage oder einmal Größen oder einmal Kenntnis von der Durchbiegung oder der sogenannten Querneigung,

die ersten Ableitung von W, das sind die sogenannten geometrischen Randbedingungen oder eben Kenntnis über das Biegemoment oder die Querkraft, das sind die sogenannten statischen Randbedingungen.

Kenntnis über das Biegemoment und Kenntnis über die Querkraft ist gleichbedeutend mit Kenntnis über die zweite und die dritte Ableitung,

Sie sehen also die Nullte und die erste Ableitung sind die geometrischen Randbedingungen, die zweite und die dritte sind entsprechend die statischen und das hängt damit zusammen,

dass diese Zusammenhang zwischen Q und W über die vierte Ableitung, das ist im Grunde eine Differentiale Gleichung vierter Ordnung und dazu gehören eben Randbedingungen von diesem Typ bis zur ersten Ableitung,

wären das denn die wesentlichen und dann die zweite und dritte Ableitung die restlichen und für uns sind das eben die geometrischen und die statischen.

So und wenn wir uns da mal hier einmal durcharbeiten durch die verschiedenen Lagertypen, die wir so kennen,

dann sehen Sie links in den beiden Spalten die geometrischen oder wesentlichen Randbedingungen für W und W- Strich

und dann ist eben beispielsweise klar, wenn wir da durchgehen etwa an so einem Loslager weiß ich eben da ist die Durchbiegung Null, da kenne ich die etwa,

an einer Einspannung, wenn Sie ganz unten gucken, letzte Zeile, da weiß ich eben die Durchbiegung und auch die Querneigung sind da Null.

Und dazwischen die ganzen anderen Lager gibt es eben verschiedene andere Kombinationen, beispielsweise diese Hülseneinspannung hier, diese in dieser Zeile,

da weiß ich eben auch, dass die Durchsenkung und auch die Verdrehung Null ist, diese Art von Einspannung, da ist eben die Durchbiegung an der Stelle nicht bekannt, aber die Verdrehung etwa.

Und auf der anderen Seite die beiden, die letzten beiden Spalten, da sehen Sie eben entsprechend, was Sie wissen über statische Randbedingungen, restliche Randbedingungen,

sprich wo Sie was wissen über die zweite und die dritte Ableitung, nehmen wir da nochmal etwa so ein Loslager oder so ein Festlager, überall wo ein Küllerchen dran ist,

da weiß ich ja an der Stelle kann kein Moment aufgenommen werden, also ist dort die zweite Ableitung Null.

Umgekehrt nehmen wir beispielsweise mal dieses Loslager, an dem kann eben keine vertikale Auflagerreaktion aufgenommen werden,

das heißt dort ist die Querkraft Null und entsprechend muss dort auch die dritte Ableitung der Biegellinie Null sein.

Ich glaube, wenn man sich da einmal eingedacht hat, ist das nicht so schrecklich schwierig und das ist aber wichtig, um eben diese Integrationskonstanten zu bestimmen.

Und analog meinetwegen jetzt hier der Extremfall, die volle Einspannung, da weiß ich natürlich a priori nichts über das Moment und auch nichts über die Querkraft, die ergeben sich dann eben erst.

So, jetzt habe ich immer von Rand und Übergangsbedingungen gesprochen, Übergangsbedingungen sind eben Bedingungen an Gelenken,

jetzt sehe ich gerade in dieser Tabelle, Herr Faller muss hier oben Gelenk stehen, nicht Lager, müssen wir nochmal korrigieren,

hier sehen Sie jetzt aufgetragen sozusagen immer die Sprünge in den Größen, also beispielsweise den Sprung in der Verschiebung etwa,

wenn wir uns vielleicht mal, warte mal ich brauche mal irgendwas zu zeigen, wenn Sie sich vielleicht zum Beispiel mal auf dieses ganz normale,

so hier auf so ein ganz normales Drehgelenk mal fokussieren, denn wissen wir, dass wenn Sie von links kommen oder von rechts,

die beiden Stäbe, die haben an der Stelle, wo Sie hier an dem Gelenk zusammensitzen, haben die die gleiche Verschiebung,