Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir wollen noch mal ganz kurz uns einstimmen, um was es jetzt hier eigentlich geht in der Vorlesung.

Wir hatten am Dienstag begonnen uns über das Konstitutivgesetz, Stoffgesetz, Materialgesetz

in mehreren Dimensionen zu unterhalten. Da haben wir eben nicht nur einfach nur in einer Richtung

Spannung und Verzerrung, sondern wir haben drei Normalspannungen, drei Normalverzerrungen,

drei Schubspannungen, drei Schubverzerrungen und wir wollen wissen, wie sich diese Größen

miteinander verknüpfen und wir sind dabei von folgendem kleinen Gedankenexperiment ausgegangen.

Das ist hier oben noch maskiziert. Das war diese Vorstellung, dass wenn ich eben so einen Körper in

der einen Richtung ziehe, beispielsweise mit der Spannung Sigma x, dann verlängert der sich halt in

der Richtung entsprechend, so dass eben Delta L zu L gerade Epsilon x ist, was da angetragen ist.

Aber es kommt auch seitlich dann eben zu einer Einschnürung, so dass er eben dann zu einer

Querkontraktion, so dass er dann entsprechend schmaler wird und diese Längenänderung in seitlicher

Richtung, die haben wir dann eben als Delta H und Delta H zu H ist dann eben entsprechend eine Dehnung

in der Querrichtung und der entscheidende Punkt ist dann hier der folgende, das war im einaxialen

Zug, nehmen wir mal nur diese Gleichung hier, dann einen Ansatz machen für diese Dehnung in der

Querrichtung und zwar, dass wir einfach sagen, das ist ein Vielfaches der Dehnung in Folge der

mechanischen Spannung in der, in diesem Fall horizontalen Richtung und dieses Vielfache, das

ist jetzt eine neue Materialkonstante, die nennen wir Nü, das ist die sogenannte Querkontraktionszahl

und dann sehen Sie, wenn ich eben in der x Richtung hier die Dehnung Epsilon x als Sigma x durch E

berechne, wobei E der Elastitätsmodul ist, dann kriegen Sie die analogen Zusammenhänge oder die

entsprechenden Zusammenhänge in die Querrichtung Y und Z, bei denen jetzt diese Größe Sigma x

durch E, hier unten fangen sie schon an zu randalieren, multipliziert ist eben mit der Querkontraktion Nü und

dann, weil das ja eine Kontraktion ist, eben mit der Minus 1. So, das können wir natürlich dann uns

vorstellen, dass wir das Experiment in allen drei Richtungen durchführen und komplettieren dann

hier diese Größen und schließlich und letztlich überlagern wir da jetzt die Spannung in x, y und z

Richtung, um dann eben tatsächlich auf das dreidimensionale Stoffgesetz zu kommen. Hier

sind noch so ein paar Anmerkungen und diese Überlagerung sah doch dann im Endeffekt so aus,

ich glaube so kann man es am allerleichtesten verstehen. Sie haben eine Dehnung in x Richtung infolge

der Wirkung der Spannung, die in x Richtung anliegt, der mechanischen Spannung, das ist der erste

Term hier in dieser Gleichung, dieser Term Sigma x durch E und dann haben sie zwei Beiträge infolge

der Querkontraktion, infolge des oder zwei Beiträge infolge der Querkontraktion, ist schon richtig,

die damit einhergeht, dass ich jetzt noch Spannung anliegen habe in y und z Richtung. Das sind dann

entsprechend diese beiden Terme, wo sie dann hier sehen die Spannung 1 durch E steht hier vorne und

dann mal nu und das machen wir sozusagen für alle Richtungen epsilon x, epsilon y, epsilon z und das

war schon sozusagen unser Stoffgesetz, das ist schon das sogenannte Huggsche Gesetz hier für

die Normalgrößen, also für die Normalspannung und die Normalverzerrungen und in der Regel

interessieren wir uns aber dafür, dass wir die Dehnungen kennen, weil wir die im Grunde durch

diese Dehnungsmessstreifen messen können und insofern müssen wir diesen Zusammenhang

invertieren und dann hatten wir eben hier den Zusammenhang zwischen den Normalverzerrungen

in drei Raumrichtungen und den zugehörigen Normalspannungen in den drei Raumrichtungen in

dieser Art bekommen. Hier sehen Sie wiederum Kombinationen jetzt von dem Elastitätsmodul

und der Querkontraktionszahl, dass hier einmal 1 plus nu und einmal 1 minus 2 nu im Nenner steht,

das hat gewisse Konsequenzen, dass nämlich dies nu denn zwischen minus 1 und plus ein halb liegen

darf, wobei minus 1 alle negativen Werte für die Querkontaktionszahl sind, sag ich mal, ein

bisschen akademisch, weil das bedeutet sie ziehen an einem Stab und er wird seitlich dicker, ist

nicht ausgeschlossen, wir hatten das diskutiert, aber ist vielleicht ein Sonderfall, nu gleich ein

halb, das hatten wir auch schon letztes Mal diskutiert, ist die Grenze, wo das Material nicht

mehr komprimierbar ist, sein Volumen nicht ändern möchte, der incompressible limit. Wir hatten zwei

Spezialfälle der Dimensionsreduktion angesprochen, das ist einmal der Fall, dass wir einen ebenen

Verzerrungszustand haben, um die Gleichung zu bekommen, müssen wir hier in der zweiten Box