Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Kriegen wir das jetzt wieder weg hier?

So, ok.

Gut, wir haben ja letztes Mal uns unterhalten über die Verzerrungen

und wie wir die berechnen, aus der Kenntnis des Verschiebungsfeldes.

Wir hatten in den vorhergehenden Vorlesungen uns ja schon auch unterhalten über das Konzept der Spannung.

Heute müssen wir diese beiden Aspekte zusammenbringen.

Und das ist dann eben das Thema des sogenannten Stoffgesetzes oder Konstitutivgesetzes.

Das ist eben eine wichtige und interessante Frage, der wir uns jetzt hier stellen wollen.

Ok, so, wenn ich denn um Ihre Aufmerksamkeit so ein bisschen bitten darf.

Es geht also jetzt heute und möglicherweise Donnerstag auch noch um ein mehraktiales Stoffgesetz.

Und ich hatte ja schon, wir hatten es schon in dem 1D-Fällen angesprochen,

dass das einfach synonym auch zu benutzen ist als, wie gesagt, Stoff oder auch Materialgesetz.

Das beschreibt halt im Endeffekt die Materialeigenschaften.

Ja, so meine Damen und Herren, also es geht hier also um den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen.

Sie wissen, dass wir in 3D sechs verschiedene Spannungen haben, drei Normalspannungen, drei Schubspannungen.

Dass wir in 3D sechs verschiedene Verzerrungen haben, drei Normalferzerrungen, die Dehnungen, drei Schubverzerrungen, die Gleitungen.

Und die wollen wir in Beziehung setzen und wir wollen uns hier beschränken auf einen linearen Zusammenhang.

Ja, was soll das bedeuten? Stellen Sie sich vor, wir ordnen einfach mal die Spannungen an in eine Spaltenmatrix.

Das ist Sigma, dann ist das sozusagen eine Anordnung mit sechs Zeilen und einer Spalte. 6 mal 1.

Und die sollen sich jetzt durch einen linearen Zusammenhang, sprich durch eine Matrix, die dann eben 6 mal 6 ist, ergeben aus dem entsprechenden Spaltenvektor hier 6 mal 1, indem wir die Verzerrung anordnen.

Dann heißt das, wir müssen im Grunde diesen Zusammenhang, wenn wir hier die sechs Verzerrungen drin haben und daraus einen linearen Zusammenhang haben wollen mit den sechs Spannungen, brauchen wir hier die Einträge in diese Matrix.

Das heißt, das sind im Allgemeinen 36 Einträge, die wir brauchen. 36 Zahlen, die wir bräuchten, um eben die Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen für das spezifische Material zu charakterisieren.

Das können Sie mal machen, gehen Sie zu irgendeinem Werkstoffprüfer und sagen, bestimmen wir bitte mal 36 verschiedene Werkstoffkonstanten, dann wird er Sie mit großem Hallo und Sie begrüßen und Ihnen sofort ein Austun.

So begeistert wird er sein. Nee, de facto genau das Umgekehrte wird passieren. Das ist eigentlich denn schon fast unmöglich.

Aber im Prinzip müssten wir 36 Materialparameter bestimmen. Glücklicherweise ist es aber so, dass wir diese Anzahl ganz drastisch reduzieren können durch verschiedene Annahmen.

Und die reduzieren die ganze Geschichte denn erfreulicherweise auf nur noch zwei Materialparameter. Was dem hier zugrunde liegt, ist das Stichwort Isotropie.

Beschränkung auf Isotropie. Was soll das jetzt bedeuten? Das bedeutet, dass unser Material in jeder Richtung sich gleich verhält.

Ein Gegenbeispiel dazu wäre jedes faserverstärkte Material, was sich in Faserrichtungen anders verhält als quer dazu.

Hier wollen wir uns beschränken auf Isotropie-Materialien plus ein paar weiteren Gedankengängen, die wir jetzt hier nicht in Fülle durchexercieren können.

Reduziert sich die ganze Geschichte zum Schluss auf nur noch zwei Materialparameter. Und welche das sind und aus welchen Gedankengängen wir die bekommen, das wollen wir heute und diese Woche insgesamt diskutieren.

Es geht darum, im Endeffekt diese Matrix zu bekommen, die jetzt aber für uns nur noch abhängt von zwei verschiedenen Größen.

Da wird der Werkstoffprüfer sehr froh sein, denn wir werden zwei verschiedene Tests machen, da kann er Ihnen die Zahlen geben.

Dazu machen wir mal folgendes kleines Gedankenexperiment.

Und zwar betrachten wir jetzt einfach mal eine Scheibe von Material mit den Abmessungen 2L und 2H.

Also diese Länge möge 2L sein. Und wir ziehen jetzt in horizontaler Richtung an diesem Material. Was passiert dann an dieser Scheibe?

Die wird auf jeden Fall länger und erfahrungsgemäß wird sie seitlich auch, im Allgemeinen jedenfalls, oder fast immer, wird sie dort schmaler, sodass also unsere Scheibe nachdem wir dran ziehen ebenso aussieht.

Wir ziehen hier in der X Richtung, vielleicht lassen Sie mich hier nochmal ein Koordinatensystem spendieren,

oder was weiß ich, XY meint wegen, denn wären das hier die Spannungen Sigma X.

Aus Gleichgewichtsgründen sind die links und rechts natürlich gleich in diesem Fall.

Und wir überlegen uns was passiert. Ja, erstens ist dieser Prüfkörper jetzt länger geworden.

Und zwar auf jeder Seite um das gleiche Maß. Wie groß ist dieses Maß?

Ja, wir hatten ja gesagt, für so homogene Verlängerungen, wo also an jeder Stelle X im Grunde die gleiche Verzerrung vorliegt,

ist diese Verlängerung verknüpft mit dieser Länge hier, was in dem Fall L ist, über die Dehnung in die X Richtung, das ist dann eben einfach epsilon X mal L.

Ja, so wie sieht das in der Querrichtung aus? Da hat der Prüfkörper, bevor wir dann gezogen haben, die Höhe H oder 2H, sag ich mal, gehabt.

Jetzt schnürt er sich seitlich ein, was man glaube ich auch intuitiv nachvollziehen kann.

Und er schnürt sich jetzt auf jeder Seite um dieses Maß hier ab ein. Ja, das wäre jetzt praktisch gerade die Verzerrung in Y Richtung,

die Dehnung in Y Richtung, die Normalverzerrung in Y Richtung, die würde sich jetzt eben gerade ergeben aus epsilon Y, die Längenänderung, mal H.

Dieser Faktor 2, der ist deswegen da, weil ich hier praktisch schon nochmal die gleiche Verkürzung habe und hier habe ich ja auch nochmal die gleiche Verkürzung.

So, okay, das ist erstmal das, was ich beobachten kann. Da kann ich lineal dran halten, kann ich das messen, die Längenänderung und drücke die dann entsprechend in dieser Art aus.