Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Es geht ja um diese Frage, wie transformieren sich diese Spannungskoeffizienzen bei einem Wechsel des Koordinatensystems,

was synonym ist zu einem anderen Schnitt, die ich durch das Material lege.

Hier auf dem Bild ist das noch mal zusammenfassend ein paar der Ergebnisse für Sie dargestellt.

Sie sehen also hier unten dieses kleine Quadrat als Ikone für ein kleines rausgeschnittenes Stückchen Material

und mit den verschiedenen Spannungskoeffizienzen, wie die da anzutragen sind, wenn die positiv sind in einem XY Koordinatensystem.

Dann hatten wir diese Transparsionsbeziehungen analysiert und herausgekriegt,

dass es dann ein um diesen Winkel Alpha Sigma gegenüber dem XY Koordinatensystem verdrehtes Koordinatensystem gibt,

in dem ich dann diese sogenannten Hauptnormalspannungen antreffe und die entsprechenden Schubspannungen gerade komplett verschwinden.

Und ein weiteres um Pi viertel weiter verdrehtes Koordinatensystem, in dem die Schubspannungen dann Extremalwerte annehmen

und die Normalspannungen gerade die mittleren Normalspannungen sind.

Das ist einfach so ein Satz von Zusammenhängen, den man sich weitestgehend vielleicht mal merken sollte.

Hier ist es nochmal aufgetragen in diesem sogenannten Ebenen-Spannungszustand, das war ja der, der eben gültig ist in so dünnen Strukturen.

Können wir eben diese Hauptnormalspannungsrichtungen aus diesem Zusammenhang hier ermitteln?

Also die Spannungskoeffizienzen in dem XY Koordinatensystem sind dabei gegeben.

Die entsprechenden Hauptschubspannungsrichtungen, sehen Sie hier, folgen aus so einer verwandten Formel.

Wir können daraus ablesen, dass die Hauptspannungsrichtungen senkrecht aufeinander stehen,

die Hauptschubspannungsrichtungen senkrecht aufeinander stehen und dass diese beiden wechselseitig um 45 Grad gegeneinander verdreht sind.

Darüber hinaus hatten wir gesehen, dass sich die Spannungen in diesem Koordinatensystem,

die Hauptnormalspannungen aus einem ganz einfachen Zusammenhang hier geben.

Die mittlere Spannung plus minus der Radius von dem Morschen Kreis, das hatten wir schon ein Stück weit angesprochen letztes Mal.

Was da sozusagen die grafische Darstellung dahinter ist, da kommen wir gleich darauf nochmal zurück.

In den Koordinatensystemen verschwinden die zugehörigen Schubspannungen.

Die Hauptschubspannungen sind gerade plus minus dieser Wert R hier und die zugehörigen Normalspannungen in diesen Koordinatensystemen sind jetzt gerade die mittleren Spannungen.

Vielleicht als einfache Möglichkeit, sich diese beiden entscheidenden Werte hier, Sigma M und R Sigma, zu merken,

habe ich Ihnen hier nochmal aufgetragen, wie die sich in dem Koordinatensystem, in dem ich die Hauptnormalspannung finde, ausdrücken würden.

Sigma M ist eben einfach die mittlere Normalspannung und dies R, das ist denn gerade die halbe Differenz zwischen den Hauptnormalspannungen.

Und wenn Sie nochmal an diese Darstellung im Morschen Kreis denken, erkennen Sie, dass das tatsächlich gerade genau der Radius ist.

In beliebigen Koordinatensystemen sieht dieser zweite Ausdruck hier ein bisschen komplizierter aus, weil da eben noch der Beitrag der Schubspannung dann eine Rolle spielt.

So viel zunächst mal als kleiner Willkommensgruß für Sie.

Und damit können wir jetzt nochmal den Morschen Spannungskreis aufgreifen.

Hier ist er.

Die Folien haben wir jetzt noch nicht geguckt.

Genau, zunächst mal. Die Gleichung eines Kreises in einem Koordinatensystem, was eben durch die Achsen Sigma und Tau gegeben ist,

beschreibt sich ja in dieser Art und Weise, wenn der Kreismittelpunkt eben auf der Sigma-Achse liegt.

Dann ist eben der Kreismittelpunkt auf der Sigma-Achse dieses Sigma-M. Auf der Tau-Achse ist es eben Null.

Und der Radius ist hier dieser Wert.

Und diese Gleichung oder diesen Zusammenhang können wir eben gewinnen durch entsprechende Manipulation dieser Transformationsbeziehung für die Spannung,

die wir jetzt die letzten Stunden hier mühsam hergeleitet haben.

Die Herleitung ergibt sich durch ein geschicktes Quaterieren dieser Beziehung und Addieren.

Und wenn man da so ein paar Schritte durchlaufen hat, kommt man auf dieses Ergebnis.

Ich will Sie da nicht zu sehr mit belasten. Es steht im Umdruck im Einzelnen alle Schritte aufgeschrieben.

Ja, ein paar Worte zum Morschen Spannungskreis. Wir haben den ja letzte Stunde schon kennengelernt.

Der Morschen Spannungskreis ist eben eine geometrische Darstellung der Transformation der Spannungskurvizienten.

Statt sich also diese vielen Formeln da mühsam zu merken, kann man sich vielleicht einfach merken, wie man diesen Kreis konstruiert.

Und was jetzt eben vielleicht zum Verständnis ganz wichtig ist, ist das für einen gegebenen Spannungszustand

die zugehörigen Normal- und Schubspannungen in beliebigen Schnitten bzw. in beliebigen Koordinatensystemen

jeweils, also wenn ich die hier einsetze, diese Werte, dann erfüllen die jeweils diese Kreisgleichung.

Das heißt sozusagen, die Kombinationen von Normalspannung Sigma und Schubspannung Tau,

die durch alle Punkte, die auf diesem Kreis liegen, gegeben werden,