Ja, meine Damen und Herren, Sie haben gesehen, Fußball begeistert.

Ich hoffe, die Mathematik dahinter wird Sie auch begeistern.

Kommen wir jetzt zu den mathematischen Voraussetzungen.

Ich will ganz wenig dazu sagen, zum ersten Mal noch einmal daran erinnern,

dass wir bei rechtwinkeligen Dreiecken drei Seiten haben.

Zwei sind die Seiten, die dem rechten Winkel zugehörig gerechnet werden.

Die nennt man die Katheten.

Und die längere Seite, das ist die Hypotenuse.

Dieser Winkel heißt 90-Grad-Winkel.

In diesem rechtwinkeligen Dreieck gibt es einen sehr wichtigen Leersatz.

Das ist der Leersatz des Pythagoras.

In der Kurzform lautet es, in einem rechtwinkeligen Dreieck

ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

Das heißt, Sie sehen jetzt hier Strecken A, B, B, C, C, A.

Und dahinter stecken Quadrate.

Und die Quadrate betrachtet man.

Ich will Ihnen einmal zeigen, wie man diesen Satz nachweisen kann.

Ich habe dazu ein rechtwinkeliges Dreieck hergenommen, A, B, C.

Ich kann das auch ein bisschen größer machen oder ein bisschen kleiner machen.

Und in Punkte C liegt ein rechter Winkel vor.

Man kann es dadurch zeigen, dass ich hier ein bisschen drehe.

Im Hintergrund gibt es einen Halbkreis, auf dem Punkt C wandert.

Dieser Halbkreis ist verdeckt.

Und Sie können jetzt sehen, dass da drei Flächen sind.

Auf Ihrem Bildschirm sehen Sie es auch.

Rot, grün und gelb.

Und der Leersatz des Pythagoras sagt aus,

dass diese beiden Flächen dieses untere Quadrat zusammengenommen sind.

Wenn man das einmal in eine besondere Konstellation legt,

sodass die beiden Quadrate gleich groß sind, das Grüne und das Rote,

dann kann man fast sehen, dass das funktioniert,

weil man dieses Quadrat halbiert.

Und dieses Quadrat halbiert, dann entstehen vier Dreiecke.

Und die passen dann hier genau rein, in das untere.

Das kann man mal zu Hause ausschneiden.

Das funktioniert.

Das ist ein relativ schlichter Beweis, der sehr geometrisch geht.

Es ist ja, wie Sie gesehen haben, ein auch algebraisch zudeutender Satz,

der sagt a² plus b² das c².

Sie müssen doch immer daran denken,

dass sozusagen die Flächeninhalte in der Forme vorkommen.

Und wir wollen aber häufig diesen Satz benutzen,

um mit den Strecken des rechtwinkligen Dreiecks zu leben.

Und deswegen kann man erst einmal jetzt rechnen,

indem man sozusagen zwei Katheten sich hernimmt.

In meinem Rechenbeispiel habe ich eine Kathete der Länge 3 cm gewählt

und eine Kathete der Länge 4 cm.

Dann kann man die Hypotenuse ausrechnen.

Das heißt also, man wendet die Formel an.

c² ist 3²² cm plus 4²² cm.