Vielen Dank für die Einführung. Vielen Dank an Sie alle, dass Sie da sind und es ist mir eine große Ehre,

heute hier die Gauss-Vorlesung halten zu dürfen. Genau, in meinem Vortrag möchte ich ein bisschen

was über mein Forschungsgebiet, die Kombinatorik, und über meine Forschung erzählen, also da so ein

bisschen Eindruck geben, aber das Ziel ist natürlich, dass es möglichst verständlich ist. Also werden wir

nicht so tief in die Details einsteigen, aber ich möchte ein bisschen Überblick geben. Also mein

Arbeitsgebiet ist die probabilistische Kombinatorik und Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik,

das sich in gewissem Sinne mit zählbaren Objekten befasst, also Objekte wie endliche Mengen oder

Punkte. Im Gegensatz dazu, also zum Beispiel, um nochmal auf die Schule zurück zu kommen, in der

Schule kennt man Kombinatorik vielleicht von Aufgaben der folgenden Form. In einer Eisdiele gibt

es zwölf Eisorten, man darf sich drei aussuchen, weil mehr als drei Kugeln Eis sind ungesund. Wie

viele Möglichkeiten gibt es von den zwölf Sorten jetzt drei auszusuchen? Das kann man dann abzählen,

das ist also in gewissem Sinne zählbar. Im Gegensatz dazu befassen sich viele andere mathematische

Gebiete mit kontinuierlichen Strukturen, wie zum Beispiel der reellen Zahlenachse. Also die

Eiskugel, die Sorte Schokolade kann ich nicht halb wählen, die nehme ich entweder oder die nehme ich

nicht, da gibt es nichts dazwischen. Auf der reellen Zahlenachse finden wir zwischen der 0 oder 1 ein

ganzes kontinuierliches Intervall von Zahlen. Oder ein anderes Beispiel für kontinuierliche

Strukturen sind Flächen im dreidimensionalen Raum, wie zum Beispiel dieser Doppel-Torus.

Genau, aber darum geht es heute nicht. In Kombinatorik geht es sozusagen um Sachen,

die in gewissem Sinne zählbar sind. Und ein wichtiges Teilgebiet von Kombinatorik ist die

sogenannte Graphentheorie. Und dabei geht es nicht um Funktionsgraphen, die man vielleicht aus der

Schule schon kennt, wie die Parabe für x², darum geht es nicht hier, sondern es geht um Graphen,

die bestehen aus Ecken, die wir durch Punkte darstellen, und Kanten, die wir durch Verbindungslinien

zwischen den Punkten darstellen. Hier ist mal ein Beispiel für seinen Graphen. Also in diesem Graphen

haben wir zehn Ecken, das sind diese zehn Punkte, und dann haben wir einige Verbindungslinien dazwischen,

das sind Kanten. Und hier sehen wir zum Beispiel diese Ecke, ist mit dieser Ecke verbunden durch

so eine Kante, aber diese beiden Ecken sind nicht durch eine Kante verbunden. Und darauf kommt es

sozusagen an, welche Ecken durch Kanten verbunden sind, nicht wie wir die Kanten malen. Also hier ist

eine Weise diesen Graphen zu malen. Wir können ihn auch so malen, indem ich diese Kanten hier

gebogen male und vielleicht da eh die da oben lang gehen lasse. Das ist das Gleiche. Das Einzige,

was uns interessiert ist, welche Eckenpaare sind durch Kanten verbunden und welche nicht. Nicht,

wie male ich das jetzt. Und wie man den Bild aufsehen kann, können sich diese Kanten auch

überschneiden. Das ist okay, auch wenn da keine Ecke liegt. Also hier ist eine Kante, die geht von

der Ecke zu der Ecke und eine Kante, die von der Ecke zu der Ecke geht. Das ist kein Problem.

Genau, also das sind diese Objekte, die wir untersuchen und die nennen wir Graphen.

Der Graph auf der letzten Folie war noch relativ übersichtlich. Der hier mit 18 Ecken,

der sieht schon ziemlich chaotisch aus. Und je mehr Ecken man hat, desto chaotischer werden die.

Die können also ziemlich unstrukturiert sein, wie dieser hier, den ich übrigens zufällig erzeugt

habe. Genau, aber obwohl das so total unstrukturiert aussieht, kann man trotzdem, wenn man sich auf den

Teil der Ecken beschränkt, hier was sehr Strukturiertes finden. Zum Beispiel kann ich

diese vier Ecken auswählen, diese vier rot markierten Ecken und sehe da eine ganz homogene

Struktur dazwischen. Nämlich diese vier Ecken haben die Eigenschaften, dass es zwischen je zwei

von denen eine Kante gibt. Also bei diesen vier rot markierten Ecken sind je zwei durch eine Kante

verbunden. Ich habe also alle sechs möglichen Kanten zwischen den vier Ecken. Habe ich also

sehr eine sehr homogene Ecken Teilmenge gefunden. Eine andere ganz homogene Ecken Teilmenge besteht

aus diesen vier Ecken, da sind nämlich gar keine Kanten dazwischen. Also wenn wir hier gucken,

von diesen vier roten Ecken sind keine zwei durch eine Kante verbunden. Das ist also wiederum sehr

homogen. Und da kann man sich natürlich fragen, geht das immer? Kann man sich in einem großen chaotischen

Grafen immer eine ganz strukturierte Teilmenge finden? Und die Antwort ist ja, also zumindest in gewissem

Sinne. Und das ist ein schon sehr altes Resultat, fast 100 Jahre alt aus der Grafentheorie, dass man

den Satz von Ramsey nennt. Ganz kurz gesagt, der Satz von Ramsey, dass es in jedem sehr großen Grafen