Ja, herzlich willkommen. Gibt es weitere Fälle von Personen, die in der wegen

über den Raum über Buchen gestrichenen Übungen eingetragen waren? Ich hatte einen Fall eben hier

vorne. Gibt es weitere? Also die noch nicht anderweitig untergekommen sind? Fine. Ich meine

die am Dienstag um 14 Uhr. Okay. Gut. Ja, wie jedes Jahr machen wir also ganz am Anfang,

eine Sitzung zu einem Thema, das erfahrungsgemäß große Schwierigkeiten macht. Das ist das Thema

Induktion. An sich kennen Sie das vermutlich aus der Schule zum Thema natürliche Zahlen. Wer kennt

das Thema Induktion über natürliche Zahlen aus der Oberstufe oder sowas? Einer, zwei, drei, vier,

fünf, sechs. Das gibt hier einen einheitlichen Lehrplan oder? G8. Danke. Sind das alles G9 Leute

jetzt, die das haben oder was? Also nochmal Test. Wer ist G8 und kennt Induktion aus der Schule?

Einer, immer noch. Einer. Okay. Ja, okay. Ein weiteres Argument fürs G9. Gut. Wir fangen also eben

mit genau dieser Induktion über natürliche Zahlen jetzt an. Jetzt mal andersherum gefragt,

wer kennt das nicht aus der Schule, sondern wer kennt es überhaupt? Induktion über natürliche

Zahlen. Danke schön. Immerhin, das sind doch dann nur die meisten. Nicht fast alle hätte ich jetzt

fast gesagt, aber tatsächlich nur die meisten. Okay. Also. Wir fassen mal die Grundidee von

Induktion in stark verallgemeinerter Form zusammen und zwar deswegen, weil wir eben Induktion in

wesentlich allgemeinerer Form als nur für natürliche Zahlen benötigen werden. Wir werden

also über ganz andere Dinge Induktion betreiben als nur über natürliche Zahlen.

Also das allgemeine Prinzip ist gut, ich möchte beweisen, eine Eigenschaft für Objekte irgendeines

Typs. Also ich möchte beweisen, dass es für alle Objekte dieses Typs gilt und dazu reduziere ich

die Eigenschaft dieses Objekts, die ich also für alle Objekte etablieren will,

auf dieselbe Eigenschaft eines einfacheren Objekts. Na, Hilden T. So.

Und außerdem zeige ich noch etwas vereinfacht ausgedrückt, dass diese Eigenschaft für alle

einfachsten Objekte gilt. Also bei den natürlichen Zahlen gibt es nur ein einfachstes Objekt,

nämlich die Null. Bei anderen Strukturen mag es mehrere einfachste Objekte geben,

wobei einfachstes Objekt eben heißt, also ein maximal einfaches Objekt gewissermaßen,

also eins, das ich nicht mehr einfacher machen kann. So, wenn ich das habe und...

Wenn ich dann noch annehme, dass meine Objekte so gestaltet sind und meine Objekte und meinen

Begriff von Einfachheit, sodass also die Objekte nur endlich oft einfacher werden können.

So, dann habe ich also jetzt mal sehr salopp ausgedrückt. Ja, das ist Motivationssprech,

ja, also das ist nicht Notation, die Sie in Zettellösungen verwenden können und das ist

auch keine Notation, die ich in ernsthaften Beweisen an der Tafel verwende. Das ist also

reines Tralala. So, also dann habe ich P für alle Objekte gezeigt. So, nicht? Das ist also das

Grundprinzip und ja, vielleicht so vereinfacht dargestellt, ist es vielleicht nicht so überraschend,

ja, also wenn ich das zeigen kann, also erstens, dass ich die Eigenschaft für ein Objekt immer

auf dieselbe Eigenschaft für ein einfaches Objekt zurückführen kann. Wenn ich dann so ein Objekt

außerdem nach meiner Annahme da nur endlich oft einfacher machen kann und also irgendwann

bei einem Objekt ankomme, das nicht mehr einfacher wird und dann nach meinem zweiten Punkt hier

dann gezeigt habe, dass für solche Objekte, die nicht mehr einfacher werden, die Eigenschaft

schlicht und einfach gilt, dann habe ich für mein ursprüngliches Objekt, mit dem ich angefangen

habe, die Zeit und die Eigenschaft gezeigt, also für beliebige Objekte. Gut, ja, das führen wir

mal konkret aus an verschiedenen Beispielen.

Also die Mutter aller Induktionsprinzipien ist die eben gute alte Induktion über natürliche

Zahlen. So, das ist eine Methode, eine Aussage P für alle natürlichen Zahlen zu beweisen,

das heißt dazu muss überhaupt erst mal P eine Aussage über natürliche Zahlen sein. Sowas ist

hier immer gefährlich, wenn ich also klammheimlich hier Aussage hinschreibe und nicht weiter angebe,

wie ich das meine, ja, also was denn überhaupt eine Aussage ist, dann muss man immer annehmen,

dass ich schummel, so auch hier. Ich interessiere mich jetzt also gerade nicht wirklich für

Axymatisierung von Piano-Arithmetik und logische Mittel, die ich da zur Verfügung habe und so

weiter, ich interessiere mich nur für das Prinzip der Induktion, das heißt ich lasse absichtlich

unspezifisch, was ich jetzt mit einer Aussage konkret meine. Das werden wir auch so lassen,