Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Grüß Gott zusammen. Wir haben uns letztes Mal mit dem beschäftigt, was man auch Hauptachsentransformation

nennt und haben da ein sehr befriedigendes Ergebnis erreicht.

Eine relativ große Klasse, die Klasse der normalen Matrizen, lässt sich diagonalisieren

und lässt sich sogar orthogonal bzw. unitär diagonalisieren.

Es gibt also eine Basis aus eigenen Vektoren und die ist sogar als ortonormal Basis wählbar.

Das nächstgrößere Ziel, was wir jetzt vorhaben, ist für sozusagen die allgemeine Situation,

also insbesondere eben die Situation der nicht diagonalisierbaren Matrizen, eine Normalform zu finden.

Also für die Situation, wir wissen ja schon, was das für eine Situation ist,

es ist die, wo es sozusagen zu wenig eigen Vektoren gibt, da wo die geometrische Vielfachheit kleiner ist als die algebraische Vielfachheit

und wo wir dementsprechend eben schon von der Anzahl her keine Basis aus eigen Vektoren finden können.

Wir müssen also dann sozusagen mehr zulassen, mehr Invariants zulassen,

also die Invariantenräume größer werden und von dem Idealfall der eindimensionalen Invariantenräume verabschieden.

Und das wird uns dann zur jordanischen Normalform führen.

Bevor wir das jetzt dann in Angriff nehmen, möchte ich da noch einen Satz besprechen,

der steht so ein bisschen einsam in der Landschaft, aber wird manchmal gebraucht.

Und zwar geht das um die Frage, wie kann man überhaupt Kommutativität von zwei Matrizen charakterisieren?

Wir wissen, im allgemeinen ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ.

Es ist eben nicht, jetzt in der Notation des Satzes hier, S1 gleich, S2 gleich, S2, S1,

aber wir kennen eine ganze Reihe von Beispielen, wo es so ist.

Wir wissen zum Beispiel, und das ist etwas, was wir sehr oft in der Folge anwenden werden,

dass zum Beispiel eine Matrix mit einer Potenz von sich selbst natürlich kommutiert.

Oder auch allgemein mit einer Bildung, die wir dann später Matrix-Polynomen nennen,

also eine polynomialen Bildung, wo das Argument dann sozusagen die quadratische Matrix ist.

Also es gibt Fälle, wo das passiert, aber es gilt eben nicht allgemein.

Und zumindest im Fall der normalen Matrizen können wir jetzt eine Charakterisierung dieser Eigenschaft geben.

Das ist die sogenannte simultane Diagonalisierbarkeit.

Der Satz sagt aus zwei Matrizen S1 und S2, die also normal vorausgesetzt sind.

Das kann man auch später, wenn wir diese Bedingungen etwas abschwächen können,

genau dann miteinander kommutieren, wenn es eine Ortonormalbasis des KN,

jetzt hier in dem Fall, es sind also N-Matrizen, gibt,

deren Elemente sowohl Eigenvektoren für S1 als auch für S2 sind.

Wir wissen aufgrund der Normalität, es gibt solche Ortonormalbasen sozusagen individuell für S1 und für S2,

aber wir wissen, diese Matrizen sind diagonalisierbar, sind orthogonal diagonalisierbar,

aber wir fordern hier, und das ist eben gerade, dass die Behauptung

äquivalent zur Kommutativität die simultane Diagonalisierbarkeit.

Schauen wir uns mal den Beweis an, der hat eine simple und eine nicht so simple Richtung.

Okay, hier ist noch ein bisschen alte Notation auf der Folie,

normalerweise wäre das mit I und II bezeichnet, aber ich richte mich jetzt mal nach der Folie.

Also sieht man überhaupt irgendwas?

Wie man so weit weg, dass ich nicht sehen kann, was drauf ist, nachdem der andere jetzt seinen Geist aufgegeben hat.

Irgendwie funktioniert das nicht, weil jetzt wieder der Schatten.

Da müssen wir schauen, dass wir den Schatten wegkriegen.

Man sieht es eigentlich gut genug, das beruhigt doch.

Der Schatten stört nicht, das geht, ja, okay.

Also, wir sind beim Satz 4,7,1. Wir haben die Richtung A nach B, das heißt also die Aussage,

wenn ich simultane Diagonalisierbarkeit habe, dann sollen die Matrizen kommutieren.

Das stellt sich als einfach heraus, das heißt, ja, ich habe eine gemeinsame Basis,

also eine gemeinsame Übergangsmatrix A, das heißt also nach der Voraussetzung sagt mir,

es existiert ein A, das ist also die Übergangsmatrix.