Guten Morgen zusammen. Wir hatten letztes Mal uns ein bisschen mit Quotientenräumen beschäftigt und

Sie haben hoffentlich gesehen, dass das gar nicht so was schrecklich Geheimnisvolles ist.

Als kleine Anwendung davon, in einer mathematischen Anwendung hatten wir die Struktur oder die

Diskonstrukte des Quotientenraums dann zum Anlass genommen, den Begriff der Kodimension zu

verallgemeinern. Bisher konnten wir den Begriff Kodimension nur fassen in einer Situation,

wo wir einen endlichdimensionalen Grundraum hatten und dann war eben die Kodimension

eines k-dimensionalen Unterraums einfach N minus K, wenn N die Dimension des Grundraumes ist.

Das heißt also, die Kodimension ist die Dimension eines, wenn man so will,

Ergänzungsraumes eines Raums, der im direkten, der direkten Summe dann den Gesamtraum ergibt.

Mit Hilfe des Quotientenraums kann man das Konzept jetzt übertragen auf dem Fall unendlich

dimensionaler Grundräume und zwar, indem wir einfach sagen, die Kodimension ist die Dimension

des Quotientenraums. Die kann durchaus jetzt endlich sein, wir werden gleich das konkretisieren,

oder haben es schon konkretisiert, die kann durchaus endlich sein, ohne dass der Grundraum

endlich ist. Wenn der Grundraum endlich ist, passen die Begriffe wieder zusammen. Okay,

was hatten wir gesehen? Wenn ein Raum Kodimension eins hat, das ist das, was wir früher Hyper-Ebene

genannt haben und was wir jetzt auch weiterhin Hyper-Ebene nennen, ist das schon recht konkret,

was das bedeutet. Das bedeutet nämlich das, was wir schon aus dem endlichdimensionalen kennen,

es gibt einen eindimensionalen direkten Ergänzungsraum. Der ist natürlich im Allgemeinen

nicht eindeutig festgelegt. Analog, wenn die Kodimension K ist, gibt es einen k-dimensionalen

Ergänzungsraum. Das war jetzt relativ einfach noch zu sehen, was ein bisschen trickreicher

war und damit hatten wir jetzt die letzte Vorlesung abgeschlossen war, zu sehen, ein

Raum mit Kodimension K lässt sich schreiben als ein Schnitt aus K-Räumen mit Kodimension

eins, also aus K-Hyper-Ebenen. Was jetzt noch fehlt als letzter Baustein, um das jetzt genauso

konkret zu machen, das Konzept wie im endlichdimensionalen ist die Beschreibung von Hyper-Ebenen. Wir

wissen im endlichdimensionalen zu Hyper-Ebenen einfach die Lösungen von einer Linearen Gleichung.

Das ist im unendlichdimensionalen genauso. Das sagt jetzt der nächste Satz. Erstmal sagt

er, wenn ich ein Element aus dem Dualraum habe, also eine Linearform, ein lineares Funktional,

eine lineare Abbildung von V nach K, ist alles das gleiche, sollte nicht Null sein. Und mir

den Kern davon anschaue, also alle Elemente der Lösung der Linearen Gleichung Phi von

X gleich Null, dann ist das eine Hyper-Eben, das ist die Kodimension davon gleich eins.

Gut, da ist nicht viel zu zeigen für diesen Satz. Wir müssen uns anschauen, was ist der

Quotientenraum nach dem Kern. Wir wissen aber, der Quotientenraum nach dem Kern ist Isomorph

zum Bild und das Bild eines linearen Funktionales, was von Null verschieden ist, ist der ganze

Raum, der ganze Skalan Körper K. Das ist ein Funktionales, wir haben ja im, in K, als K-Vectorraum

gibt es nur zwei Unterräume, entweder die Null oder den ganzen Raum. Insofern kann

der Bild, hat der Bildraum nur diese beiden Möglichkeiten. Da kann der Nullraum sein,

dann haben wir das Nullfunktional und wenn wir nicht das Nullfunktional haben, dann ist

anders gesprochen jedes Funktional, jedes lineare Funktional surjektiv. Das heißt also,

diese erste Aussage haben wir sofort. Diese Aussage können wir umkehren, das war die versprochene

Umkehrung, nämlich wenn wir eine Hyperebene haben, Kodimension eins, dann gibt es auch

so ein Funktional, sodass sich diese Hyperebene als Kern schreiben lässt. Das heißt, jede

Hyperebene ist eben die Lösungsmenge einer Linearen Gleichung. Und als unmittelbare Folgerung,

das ist das, was wir, das ist das, was wir nur, einzig was wir uns nur überlegen müssen.

Und als unmittelbare Folgerung davon haben wir dann in Zusammenhang mit dem vorherigen

Satz, wenn ich Kodimension K habe, weiß ich, der Raum ist der Schnitt von K-Hyperebenen,

dann weiß ich eben, es gibt K solche Funktionale, sodass U im Schnitt dieser Kerne liegt. Oder

ich ein Raum mit Kodimension K ist einfach das Lösungssystem zu K-Linearen Gleichungen.

Also sozusagen wie gehabt, nur eben jetzt im allgemeinen bei unendlich dimensionalen

Grundraum. Ja, wie gesagt, das ist fast alles schon bewiesen. Das einzige, was wir uns noch

anschauen müssen, ist dieser mittlere Teil 2. Wir müssen also jetzt unter der Voraussetzung