Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, gut, warum soll es jetzt gehen? Das Stichwort ist, blättern wir nochmal zurück,

das Stichwort ist normierte Räume oder genauer normierte Algebren. Was Algebren sind, werden wir

uns gleich nochmal in Erinnerung rufen. Mit Normen haben wir uns natürlich schon öfters

mal beschäftigt, aber mehr im Sinne einer geometrischen Sichtweise, also Norm als eine

Längenmessung. Meistens im Zusammenhang mit Normen, die von Skalarprodukten erzeugt worden sind,

wobei wir wissen, Norm muss nicht notwendigerweise von einem Skalarprodukt erzeugt werden, wovon wir

bisher die Finger gelassen haben, wie der Teufel vom Weihwasser, sind jedwede Argumente, die etwas

mit Stetigkeit, Konvergenz etc. zu tun gehabt haben, denn ich musste ja davon ausgehen, dass

Sie das Wort Analyse noch nie gehört hatten. Jetzt ist ein bisschen Zeit ins Land gegangen,

jetzt versuchen wir mal diese Scheu abzulegen und eine gewisse Verbindung herzustellen zwischen

dem, was wir hier gemacht haben, der Untersuchung linearer Strukturen und der Analyse. Jetzt hoffen

wir mal, was jetzt Sache ist. Okay, jetzt soll es also darum gehen, diesen Zusammenhang herzustellen.

Das heißt, ich muss irgendwie auf Ihre Analysiskenntnisse aufsetzen. Jetzt werden Sie mir natürlich sagen,

Sie haben noch nie was von Analysis gehört. Insofern habe ich mich etwas sachkundig gemacht,

bzw. Herr Brunner hat sich mal mit dem Herrn Paul zusammengesetzt und das, was Sie schon in Analysis

besprochen haben, das werden wir hier natürlich nicht wieder tangieren, aber es gibt eine Reihe

von zusätzlichen Aspekten, die Sie erstaunlicherweise noch nicht angesprochen haben. Das heißt also,

ich werde versuchen, das in der nötigen Kürze und Ausführlichkeit zu machen. Okay, jetzt haben wir

kein Bild mehr, das ist auch gut. Okay, Sie wissen alle, was eine Norm ist. Das ist eine

Längenmessung, das heißt eine Abbildung aus einem Vektoraum in die reellen Zahlen, in die

nicht negativen reellen Zahlen, die homogen ist, die die Dreiecksungleichung erfüllt und, ganz

wichtig, die definiert ist. Nur der Vektor der Länge 0 hat die Länge 0. Wir wissen, wir können

solche Normen erzeugen, wenn wir ein inneres Produkt auf einem euklidischen bzw. unitären

Vektoraum haben, indem wir einfach das innere Produkt des Vektors mit sich selbst nehmen und

daraus die Wurzel ziehen. Also Beispiele brauchen wir natürlich. Was kennen wir für Beispiele?

Fangen wir mit dem K hoch N an. Da kennen wir das, was von einem euklidischen Skalarprodukt

erzeugt wird, die euklidische Norm. Das heißt also, man nehme die Komponenten her,

nehmen wir den Betrag, das Quadrat, summiere auf und daraus die Wurzel. Diese Norm lässt sich jetzt,

diese 2-Norm lässt sich jetzt verallgemeinern zu einer P-Norm, wobei P eine reelle Zahl größer

gleich 1 ist. Wir machen genau das Gleiche. Wir nehmen die P-T-Potenz der Komponenten,

summieren aus und ziehen aus der Summe die P-T-Wurzel. Einen Spezialfall davon haben wir schon gesehen,

P gleich 1, wo man nur die Beträge aufaddiert. Wenn man sich jetzt überlegt, ist das denn eine

Norm, sieht man sofort, Homogenität ist kein Problem, Definität ist kein Problem. Das Einzige,

was man sich überlegen muss, ist die Dreiecksungleichung. Okay. Also, über dieses

Gebilde habe ich gerade gesprochen. Wenn man die Dreiecksungleichung sich überlegen will,

und das mache ich jetzt ganz kurz, denn das wurde mir versichert, das haben sie in der

Analysis gemacht, muss man sich die sogenannte, oder ist es sinnvoll, sich die sogenannte

hölderische Ungleichung zu überlegen. Die hölderische Ungleichung ist, wenn man so will,

eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzen Ungleichung bewischen. Ja, ganz allgemein,

wenn eine Norm aus einem Skalarprodukt erzeugt ist, dann kann man das Skalarprodukt von x und y

im Betrag abschätzen durch die Norm von x und normalen Norm von y. Das gilt also insbesondere

für die euklidische Norm und das euklidische Skalarprodukt. Eine Verallgemeinerung dieser

Abschätzung ist die Abschätzung, wie sie jetzt hier steht. Da steht jetzt nicht die zwei Norm,

und die zwei Norm, sondern es steht eine P-Norm und eine Q-Norm, eine zugehörige konjugierte Norm.

Das Q wird dadurch, wird durch diese Formel hier berechnet, das heißt P und Q sind zwei

reelle Zahlen, die diese Beziehung erfüllen. Die Reziproken addieren sich zu 1. Diese Beziehung

kann man auch ausweiten auf die Grenzfälle P gleich 1, dann wäre das zugehörige konjugierte

Element Q gleich unendlich und umgedreht und dann muss man dieser Norm noch für P oder Q

gleich unendlich einen Sinn geben und dann meint man dann die Maximumsnorm, also man maximiere über