Dieser Audiobeitrag wird von mit der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So meine Damen und Herren, herzlich willkommen!

Gut, also, wollen wir uns vielleicht noch

einmal erinnern, was wir letztes Mal gemacht haben.

Gut, fangen wir vielleicht hier an.

Wir hatten uns darauf verständigt, dass wir Körperbauteile, was auch immer, als konturierlich beschreiben wollen.

Dazu benutzen wir eine Feldbeschreibung, also alle Größen, die uns interessieren, ob das die Spannung sind, die Temperatur, die Verschiebung etc.

Das sind alles Funktionen vom Ort, die Koordinaten mit X bezeichnet sind.

Dann hatten wir uns schon mal überlegt, wenn wir so einen Körper beschreiben, dann hat er noch einen Rand.

Dieser Rand wird üblicherweise in zwei Anteile unterteilt, auf der mechanischen Seite in den Teil des Randes, an dem sie Lagerungen vorgeben.

Zum Beispiel eine Einspannung, der heißt hier BU, und der Rest von dem Rand, das ist der Rand, wo sie Randkräfte vorgeben, die können null sein oder irgendeinen Wert annehmen.

Das ist hier der Rand BT.

Und für das thermische Problem, wenn wir das heute behandeln, können wir eine analoge Aufteilung machen.

Da gibt es einen Teil des Randes, an dem direkt die Temperaturen vorgeschrieben werden, das ist das BT, und einen Teil des Randes, da wird der Wärmefluss vorgeschrieben, BQ.

Diese Aufteilung kann für das mechanische und das thermische Problem unterschiedlich sein.

Wichtig ist nur, dass jeweils der sogenannte Dirichle-Rand und der sogenannte Neumann-Rand zusammen den gesamten Rand unseres Gebiet ergeben und die Schnittmenge null ist.

Dann haben wir versucht, uns anzufreunden mit dieser Notation.

Das ist vielleicht am Anfang erst ein bisschen eine Hürde und haben hier noch einmal dargestellt, eben zu einer Seite eine Indexnotation,

auf der anderen Seite eine symbolische Notation, beispielsweise den Gradient eines Vektorfeldes, das taucht eben öfters auf.

Das sehen Sie auf der linken Seite, in symbolischer Notation sind das die Ableitungen der einzelnen Koeffizienten von dem Vektor u nach den einzelnen Koeffizienten von dem Ortsvektor x.

Damit man nicht immer so viel zu schreiben hat, würden wir das einfach abkürzen, also ui,j.

Da tauchen zwei Indizes auf und dann wissen wir gleich, aha, das Ergebnis ist ein Tensor zweiter Stufe.

In symbolischer Notation ist eben dieses Nabla, dieses umgedrehte Delta, das ist eben das Symbol, das diese Gradientenbildung anzeigt.

Ein Vektor hat mir Fett gedruckt, also Nabla von diesem fetten u wäre dann wieder der Gradient von dem Feld u und u könnte beispielsweise die Verschiebung sein.

Wenn ich jetzt ein karteistisches Koordinatensystem habe, dann würde sich das eben so schreiben, wie es hier auf der rechten Seite steht, ui,j.

Und dann jeder dieser neun Einträge, i und j laufen von 1 bis 3, wird mit einer entsprechenden Basis ausgerüstet, das ist dies ei, die jadesches Produkt, ei,j.

Das hatten wir letztes Mal schon überlegt, wie man das bildet, das macht sozusagen aus zwei Vektoren, wenn sie so wollen, in Anführungszeichen, eine Matrix.

Gut, und dann hatten wir uns schon überlegt, okay, wir brauchen insgesamt drei Arten von Gleichungen, das sind einmal Gleichungen, die uns was sagen über die Kinematik,

also beispielsweise Zusammenhang zwischen Verschiebung und Verzerrung, dann die Bilanzgleichungen, Impulsbilanz, Drehimpulsbilanz und so weiter.

Und konstruktive Beziehungen, zum Beispiel sowas wie das Huxche Gesetz, und wenn wir alle diese Gleichungen zusammen haben, plus Randbedingungen,

dann müssen wir das irgendwie lösen, das besprechen wir dann später im Semester.

Gut, wir haben versucht, das jetzt zunächst mal an einem für Sie bekannten Problem noch mal aufzudröseln.

Wir haben zunächst als Beispiel für eine Bilanzgleichung einfach die Gleichgewichtsbedingungen für den statischen Fall,

also da sind keine Trägerstherme dabei, da bewegt sich nichts, insofern gibt es da keine x- oder u-Punktpunkte in dem Fall,

sondern einfach nur die Gleichgewichtsbedingungen, und das kennen Sie aus dem zweiten Semester, wenn ich mir so ein Stückchen Material da angucke,

die Messungen dx1, dx2, und die wirkenden Kräfte sind in dem Fall nur die Körperkräfte, die Bs, Antrage und eben die Spannung entsprechend,

jeweils an den Schnittflächen, so wie Sie das im zweiten Semester auch schon gemacht haben, und speziell, wenn Sie dann berücksichtigen,

dass die Zuwächse, nehmen wir mal zum Beispiel diesen Zuwachs d, sigma 11, der da ganz oben steht rechts,

dass der sich eben ergibt aus der Änderung von sigma 11 mit der Richtung x1, multipliziert mit der Länge von dem Stückchen,

was ich in x1 Richtung gehe, dx1, wenn ich das entsprechend alles einsetze und dann Gleichgewicht bilde,

dann kriegen Sie eben die Gleichgewichtsbedingungen, so wie Sie die vielleicht auch schon kennen, aber ansonsten, wie wir die ab jetzt hier benutzen wollen,

das ist ganz normal, Gleichgewicht der Kräfte in horizontaler und in vertikaler Richtung, alles eingesetzt, jetzt die ganzen Details,

da brauche ich nicht nochmal darauf einzugehen, die Produkte von Größen, die gleich sind, die in jedem Termen auftauchen,

das stellt sich hinterher raus als dx1 mal dx2, die kann ich dann sozusagen rausfakturieren, sagt man das, rausziehen,

und dann bekommen Sie eben für die Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler Richtung diese Gleichung, die da steht,

diese partiellen Ableitungen von sigma 11 nach dx1 plus sigma 21 nach dx2 plus b1 ist 0,

diese Ableitungen sind partielle Ableitungen, das liegt einfach nur daran, dass jede der Spannungen eben von x1, x2 und den 3D von x3 abhängt, genau.

Und wenn Sie jetzt eben diese Reihenfolge der Indizes sich da angucken, dann stellen Sie eben fest, dass nach dem ersten Index abgeleitet wird

und über den zweiten wird sozusagen summiert. Und das können wir in Indexnotationen so darstellen, wie es hier unten links steht,

sigma ij,i, Sie erinnern sich, einsteinische Summenkonvention, hier muss jetzt über das i summiert werden von 1 bis 3,