Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Die mit R angegeben sind und wenn man die Größen mit ihren richtigen Vorzeichen berücksichtigt,

dann hat man die Energien, die durch den Rand und die Quellen reingehen.

Zum Schluss bekommen wir diese Gleichung, wie sie hier oben steht.

Das ist eigentlich der Hauptpunkt.

Diese Summation von ersten Ableitungen von Q und Q war der Wärmefluss-Vektor.

Hier unten hatten wir das noch mal in Indexnotation gesehen

oder halt alternativ in symbolischer Notation.

Vielleicht werden wir uns auf die symbolischen Notationen einmal ganz kurz konzentrieren.

Da sehen wir hier Q, ist eben fett gedruckt.

Das soll uns daran erinnern, dass es sich in diesem Fall um einen Vektor handelt.

Die Divergenz eines Vektors gibt wieder einen Skalar.

Insofern können wir das in die gleiche Gleichung reinpacken,

in der eben auch diese skalare Größe Wärmequelle drin steht.

Die Summe aus diesen beiden Größen ist eben Null.

Dann ist eben sozusagen die thermische Leistung, die reingeht, durch die seitlichen Flächen.

Die, die durch die Wärmequellen reingeht, sind dann eben in Anführungszeichen im Gleichgewicht.

In Indexnotation sehen Sie das links eben nochmal.

Q i, das ist eben dieser Wärmeflussvektor.

Und dann dieses Komma i, das ist dann ja die Summation über die ersten partiellen Ableitungen

mit Hilfe der einstandlichen Summenkonvention.

Kommen wir heute nochmal darauf zurück.

Das ist dann eben der entsprechende Ausdruck für die Divergenz.

Gut, dann hatten wir uns nochmal erinnert an das sogenannte Fourier-Gesetz,

was eben den Wärmefluss mit dem Temperaturgradienten in Beziehung setzt,

und zwar über den Wärmeleitungskoeffizienten kappa.

Wichtig ist hier dieses negative Vorzeichen.

Das hat etwas damit zu tun, dass wir hier den zweiten Hauptsatz nicht verletzen wollen.

Das sehen wir später, warum da dieses negative Vorzeichen notwendig ist.

Und wir hatten dann dieses Stoffgesetz, will ich mal sagen, eingesetzt in unsere Bilanzgleichung

und bekommen dann diesen Ausdruck, wie er da in der Mitte steht,

wo auf einmal jetzt die zweiten partiellen Ableitungen der Temperatur auftauchen,

über die dann summiert wird.

Und diese spezielle Summation von zweiten partiellen Ableitungen,

das nennen wir auch den Laplace-Operator, dann angewandt auf das Temperaturfeld.

Das ist so eine Größe, die taucht überall wieder auf, und insofern kann man die hier ruhig mal einführen.

Und symbolisch schreiben wir das eben durch dies Delta.

Also die stationäre Wärmeleitungsgleichung, aus der ich dann den Temperaturverlauf berechnen kann,

ist hier ganz unten nochmal gegeben.

Kappa ist ein Materialparameter und R sind die Wärmequellen.

Gut, das wird blätterisch jetzt mal.

Okay, und dann hatten wir gesagt, ja, die Gleichung der Mechanik und auch hier die Wärmeleitungsgleichung

sind eben eigentlich nur in Ausnahmefällen analytisch lösbar.

Und darum müssen wir zunächst mal diesen Satz von Gleichung, den wir haben, in eine andere Form bringen.

Und dieses in eine andere Form bringen, das bedeutet hier, dass wir das in die sogenannte schwache Form bringen wollen,

was im Endeffekt einfach nur ein wilder Ausdruck ist für das Prinzip der virtuellen Arbeiten.

Vielleicht, wir haben das letztes Mal hier eine Index-Schreibweise gemacht, vielleicht erlauben Sie mir,

dass ich das jetzt einfach mal stattdessen Ihnen in symbolischer Schreibweise nochmal hier auflege.

Ich klicke da mal so gut wie es geht weiter, Moment.

Genau, also hier haben wir im Grunde das Gleiche, was wir letztes Mal gemacht haben,