Nachdem wir uns im letzten Video mit dem Skalarprodukt beschäftigt haben und insbesondere mit der

Eigenschaft von Orthogonalität als einer besonders schönen mathematischen Eigenschaft,

wollen wir nun die gesamte Theorie der letzten Wochen in einem neuen Kapitel zusammenfassen.

Wir können jetzt eine sehr spezielle Gruppe von Endomorphismen untersuchen und wir werden

zuerst beschreiben, was die geometrischen Eigenschaften dieser sogenannten Orthogonalen

und unitären Endomorphismen sind, um dann später uns zu überlegen, wie denn eine Normalform

dieser Endomorphismen aussehen kann.

Sie erinnern sich an das Kapitel über die Eigenwerttheorie und die jordanische Normalform.

Wir werden in diesem Video sehen, wie solch eine Normalform für orthogonal und unitäre

Endomorphismen aufgebaut werden kann.

Diese Gruppe ist besonders schön, da sie sehr schöne geometrische Eigenschaften hat, insbesondere

dass sie Längen und Winkel erhalten.

Das heißt, diese Abbildungen werden häufig auch Isometrien genannt.

Das bedeutet, dass alle Messungen gleich bleiben unter der Abbildung.

Und dadurch lohnen sie sich gerade in Anwendungen, wo man lineare Gleichungssysteme numerisch

lösen möchte oder Eigenwertprobleme lösen möchte, da sie nicht die Länge oder Winkel

zwischen den Vektoren verändern und damit numerische Fehler geschickt umgangen werden.

Wir wollen uns heute mit den orthogonalen und unitären Endomorphismen beschäftigen.

Das heißt, wir beginnen mit einer Definition.

Also, orthogonale und unitäre Endomorphismen.

Was ist das eigentlich?

Dafür benötigen wir jetzt die Definition des Kalarprodukts.

Das wird es uns ermöglichen, die charakteristischen Eigenschaften dieser Endomorphismen zu beschreiben.

Also, wir gehen jetzt im Folgenden immer davon aus, dass V ein eukidischer oder uniterer

Vektorraum ist.

Dementsprechend haben wir die beiden Skalarprodukte.

Einmal das kanonische Standard-Skalarprodukt im R hoch N.

Daran können Sie denken.

Oder eben das komplexe Skalarprodukt in C hoch N, das wären zwei Vertreter dieser Skalarprodukte

in den Vektorräumen.

Beziehungsweise ein unitärer Vektorraum.

Also, die Definition gilt für beide.

Und wir haben jetzt ein Endomorphismus, den nennen wir F.

Der geht wie immer von V nach V.

Das ist die Eigenschaft der Endomorphismen.

So, und wann nennen wir solch ein Endomorphismus orthogonal oder unitär?

Das passiert durch folgende Eigenschaft.

Dann heißt F, das machen wir direkt im Blau, orthogonal beziehungsweise unitär.

Falls für alle V und W aus dem Vektorraum gilt.

Das heißt für beliebige Paare von Vektoren.

Was müssen wir uns jetzt anschauen?

Das Skalarprodukt charakterisiert die Eigenschaft dieser orthogonalen und unitären Endomorphismen.

Und je nachdem, ob wir in einem euklidischen oder unitären Vektorraum sind, muss ich natürlich

das richtige Skalarprodukt wählen.

Und was muss dann gelten?

Es muss gelten, dass das Skalarprodukt invariant ist unter der Wirkung von F.

Das heißt, wir möchten sozusagen die F von V und F von W in dem entsprechenden Skalarprodukt

des Vektorraums.

Das muss gleich bleiben bezüglich V und W.

Das heißt, es macht keinen Unterschied, ob ich V und W im Skalarprodukt betrachte oder