Nachdem wir im letzten Video einige erste gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet

haben und auch einige motivierende Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen aus der

Physik diskutiert haben, wollen wir in diesem Video nun eine erste Technik zur Bestimmung von

Lösungen dieser Differentialgleichungen herleiten. Und die Methode, die wir diskutieren werden,

die hilft uns in manchen Spezialfällen und wird genannt die Trennung der Variablen oder auch

Separationsmethode. Die erlaubt es uns dann, separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung

zu lösen. Und bevor wir die Technik dazu erklären, müssen wir natürlich erst einführen, was eine

separierbare Differentialgleichung überhaupt ist. Das heißt, wir beginnen zuerst mit einer Definition.

Definition der separierbaren Differentialgleichung. Differentialgleichung. Im Folgenden werden wir das

immer wieder mit DGL abkürzen, wie auch im letzten Video schon. Was brauchen wir dafür? Wir brauchen

im Prinzip zwei offene Intervalle, die nennen wir i und j. Das sind i und j Teilmenge R, zwei offene

Intervalle. Und wir haben zwei Funktionen, die wir jetzt betrachten. Die eine lebt auf i, die andere

auf j. Und die erste nennen wir f, die zweite g. f bildet ab vom offenen Teil i in die reellen

Zahlen. Und dann haben wir noch eine Funktion, die nennen wir g. Die bildet ab von j ebenfalls in die

reellen Zahlen. Und was fordern wir von den Funktionen? Die müssen stetig sein. Und zwei

stetige Funktionen. Dann müssen wir noch voraussetzen, dass die Funktion g keine Nullstellen

besitzt, zumindest nicht auf dem Intervall j. Das heißt, wir setzen voraus, das gilt g von einer

Variablen y sei ungleich 0. Und zwar für alle y aus dem offenen Intervall j. Dann können wir sagen,

was ist eine separierbare Differentialgleichung? Die muss erstmal gewöhnlich sein, also nicht in

Funktionen mit mehreren Variablen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Das heißt,

die höchste vorkommende Ableitung ist von Grad 1. Der folgenden Form. An der Form können wir jetzt

erkennen, ob es sich um eine separierbare Differentialgleichung handelt oder nicht.

Zwar ist die Form y' von x, also die erste Ableitung von x, die sei gleich f von x mal g von,

und jetzt hätte ich fast geschrieben g von x, aber das ist natürlich nicht richtig, g von y von x.

Das heißt, die zweite Funktion ist eine Funktion von der unbekannten Funktion y selbst. Und manchmal

wird das Ganze auch verkürzt geschrieben, einfach nur als f von x mal g von y. Also wenn ich eine

Funktion in der Art schreiben kann, dann nennen wir sie separierbare Differentialgleichung.

Separierbare, ich schreibe jetzt mal DGL. Und wird auch häufig Differentialgleichung mit getrennten

Variablen genannt. Das halten wir vielleicht auch noch fest. Taucht auch häufig so in der

Literatur auf. DGL mit getrennten Variablen. Genau, wir werden auch gleich ein Beispiel uns

anschauen für solche eine separierbare Differentialgleichung. Aber wir fragen uns

natürlich zuerst, was bringt es uns, wenn ich meine Differentialgleichung als solch ein Produkt

schreiben kann, in dem ich das y trennen kann von Funktionen, die nur von x abhängen. Na ja,

da gibt es dann eine schöne Lösungstechnik, nämlich die sogenannte Trennung der Variablen.

Die wollen wir jetzt durch folgenden Satz besprechen. Also Trennung der Variablen.

Die Voraussetzungen sind relativ ähnlich. Wir brauchen wieder zwei offene Intervalle.

I und J Teilmenge R, zwei offene Intervalle. Auf denen werden dann wieder unsere Funktion

G und V leben. Und wir brauchen einen Startpunkt, dass wir gleich noch klar wofür wir den brauchen,

nämlich für ein Anfangswertproblem. Das heißt, wir nehmen den Startpunkt x0, y0 aus der Menge

I Kreuz J. Der kann beliebig sein. Dann nehmen wir unsere zweistätigen Funktionen. Das kennen wir

schon aus der Definition. Es seien f von I nach R und g von J nach R. Zwei stetige Funktionen,

wobei g wieder keine Nullstelle haben darf. Das heißt, wir fordern g von y ungleich 0 für

alle y aus J. Dann schauen wir uns folgende separierbare Differentialgleichung an. Wir

betrachten die folgende separierbare DGL. Hatten wir gerade schon mal geschrieben,

dass war y Strich von x muss irgendwie in ein Produkt zerfallen in f von x mal die Funktion

g in der Variablen y. Dann jetzt kommt eigentlich das neue. Bis dahin haben wir nur die Definition

von separierbare Diffinitialgleichung gefordert. Jetzt definieren wir noch zwei Funktionen,

den nennen wir F von g. Wir definieren Funktionen, die nennen wir F, die leben auf demselben

Intervall wie ihre kleingeschriebenen Verwandten, also auch von I nach R und von J nach R. Wie

sind die definiert? Wir können F von x definieren als jetzt ein Integral über klein f. Das sieht