Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja Rechenoperationen mit Matrizen definiert.

Hier haben Sie so eine Matrix mal farb codiert.

Hier sehen Sie, da sind unten lauter Nullen in der Matrix.

Diese Linie, wo die Einsen stehen, nennt man ja bei einer quadratischen Matrix die Hauptdiagonale.

Bei dieser Matrix sind unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen.

Diese Struktur nennt man eine Dreiecksmatrix.

Wie kamen wir überhaupt auf die Matrizen?

Wir hatten ja über lineare Abbildungen gesprochen.

Wir haben gesehen, die linearen Abbildungen sind schon eindeutig festgelegt,

wenn man sagt, auf welche Vektoren die Basisvektoren abgebildet werden.

Wenn man diese Bilder der Einheitsbasisvektoren in die Spalten schreibt,

dann bekommt man so eine Matrix.

Mit diesen Matrizen kann man jetzt rechnen.

Man kann mit den Matrizen dasselbe machen wie mit Vektoren.

Man kann sie skalaumultiplizieren mit Zahlen.

Hier haben Sie zum Beispiel zweimal A, das Doppelte.

Dann werden die Farben hier etwas intensiver.

Das ist eine Verstärkung, eine Umskalierung.

Man kann das auch mit einhalb multiplizieren.

Das sehen Sie hier.

Da wird das Ganze etwas blasser, sogar ziemlich blass.

Aber so leichte Farbunterschiede können Sie noch erkennen.

Jetzt kann man eine Matrix auch mit einer anderen Matrix multiplizieren.

Das kam so zustande, wenn wir hier eine quadratische Matrix haben.

Dann entspricht diese quadratische Matrix hier, wenn es eine 4 x 4 Matrix ist,

einer linearen Abbildung vom R hoch 4 in den R hoch 4.

Wenn man zwei solcher linearen Abbildungen hat,

dann kann man die auch hintereinander ausführen.

Die Matrix für diese hintereinander ausgeführte Linear-Abbildung,

für die hintereinanderschaltung der linearen Abbildungen, ist gerade das Produkt der Matrizen.

Vielleicht sieht man das hier auch.

Hier haben wir unsere Matrix 1, 2, 3, 4.

Die kann man jetzt auch zweimal hintereinander ausführen

und so mit sich selbst multiplizieren.

Was Sie sich merken müssen bei den Matrizen-Multiplikationen,

da werden immer die Zeilen in die Spalten einmultipliziert.

Diese Zeilenvektoren müssen die gleiche Länge haben wie die Spaltenvektoren.

Dann können Sie ja das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren bilden.

Sie multiplizieren das erste Element aus der Zeile mit dem ersten aus der Spalte,

das zweite aus der Zeile mit dem zweiten aus der Spalte,

das dritte mit dem dritten und das vierte mit dem vierten.

Dann kommt dieser Eintrag links oben heraus.

Das ist eine 1.

Und so geht es weiter.

Diesen Eintrag hier unten bekommen Sie z.B. indem Sie die letzte Zeile der ersten Matrix

mit der letzten Spalte der zweiten Matrix multiplizieren.

Dann sind da lauter Nullen.

Es bleibt auch nur einmal 1 übrig.

Diese 20 bekommen Sie, weil sie in der ersten Zeile ist.