Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über den Gauss-Algorithmus gesprochen. Ich

wiederhole den nochmal. Der Gauss-Algorithmus ist ja ein Algorithmus zur Lösung von

Gleichungssystemen der Form A mal x gleich b mit quadratischen Matrizen. Das

funktioniert, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist. Also wenn die Matrix

regulär ist, dann gibt es eine inverse Matrix und die Lösung des

Lineangleichungssystems A x gleich b ist dann A hoch minus 1, die inverse Matrix

multipliziert mit b. Aber so löst man das nicht. Um die Lösung auszurechnen,

verwendet man Zeilenumformungen und damit transformiert man die Matrix auf

eine Stufenform. Man räumt unterhalb der Diagonalen die Einträge weg, die werden

eliminiert und am Ende stehen dann nur noch Nullen unter der Hauptdiagonalen.

Also das System wird durch Zeilenumformungen

in einer Zeilenstufenform transformiert.

Diese Zeilenumformungen sind Operationen an den Zeilen. Wenn zum Beispiel das

Element links oben in der Matrix eine Null ist, dann können Sie damit nicht an

anderen Stellen Nullen generieren, dann müssen Sie das vertauschen. Also mit

einer Zeile die erste Zeile vertauschen, wo dann nicht eine Null als erste steht,

dann haben Sie links oben ein Nicht-Null-Element und können damit dann die

Elemente unterhalb der Diagonalen eliminieren.

Das ist die Eliminationsphase und ich werde das mal für den Vierkreuz-Vierfall

in der Sternchen-Schreibweise darstellen. Wir haben also die erweiterte Matrix,

diese Form dann und am Anfang sind es irgendwelche Einträge, sodass die

Determinante dieser Matrix A ungleich Null ist. Also die Spalten sind hier dann

linear unabhängig und jetzt machen Sie Ihre elementaren Zeilenumformungen.

Zuerst müssen Sie wie gesagt dafür sorgen, dass hier oben links oben ein

Element steht, das nicht Null ist und dann können Sie damit darunter die Elemente

wegräumen. Also das können Sie auf 1 nomieren und dann mit dem Elementen

multiplizieren, sodass sich das dann weghebt. Also hier wollen Sie dann Nullen

unterhalb der Diagonalen schaffen und das heißt nach diesem ersten

Eliminationsschritt haben Sie ein System folgender Form. Also hier werden die

Elemente dann gar nicht mehr verändert und darunter haben Sie in der ersten

Spalte dann die Nullen generiert und das ist genau das Ziel dieser

Eliminationsschritte, diese Nullen zu generieren und die Reststruktur, die sieht

jetzt aus wie am Anfang, nur ist die Dimension um 1 niedriger, da bleiben jetzt

nur noch 3 mal 3 Einträge in der Koffizientenmatrix übrig. Also das sind

jetzt andere Sternchen als eben, aber also die Sternchen heißen nur, dass da

Einträge sind, da weiß man jetzt nichts weiter drüber, die haben sich aber dann

entsprechend den Zeilenumformungen transformiert.

Diese roten Einträge, die ändern sich jetzt nicht mehr, jetzt arbeiten wir an

diesem Stückchen in dem kleineren Kasten weiter, da ist ja auch wieder eine

Diagonale, ein Diagonalelement, durch Zeilenvertauschungen sorgen wir dafür,

dass dieses Diagonalelement nicht Null ist und generieren dann unterhalb dieser

Hauptdiagonalen wieder Nullen, in dem Fall noch zwei weitere Nullen im

Vergleich zu vorher.

Das sieht jetzt also so aus, wir machen unsere Zeilenumformungen und

transformieren das System weiter. Die erste Zeile wird wirklich überhaupt nicht

verändert und das deute ich mit dieser roten Farbe an, also das sind die gleichen

Einträge wie vorher hier und dann hatten wir ja schon die drei Nullen hier und

jetzt kommen noch zwei Nullen dazu, also das ist jetzt die Errungenschaft, also wir

haben weitere Nullen generiert und das haben wir mit den Einträgen in der