Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So einen schönen guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir definiert, was Eigenwerte

und Eigenvektoren sind. Wir sprechen hier über lineare Abbildungen und Eigenvektoren sind Vektoren,

die von dieser linearen Abbildung auf Vielfache von sich selbst abgebildet werden. Also geometrisch

behalten die Bilder die gleiche Richtung wie die abgebildeten Eigenvektoren. Die werden nur verkürzt

oder verlängert oder können auch gleich bleiben. Auch die Vektoren im Kern sind Eigenvektoren,

die werden ja auf das Nullfache von sich selbst abgebildet. Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind

durch die Eigenwertgleichung definiert. Wir haben eine quadratische Matrix am R hoch n Kreuz n und

wenn gilt a mal x gleich lambda mal x dabei ist x ungleich 0 und lambda kann eine komplexe Zahl sein.

Das x ist hier sinnvollerweise auch aus dem Vektor Raum C hoch n. Also hier kommt man schnell in den

Bereich der komplexen Zahlen hinein. Also in dieser Situation heißt die Zahl lambda ein Eigenwert der

Matrix a und der Vektor x aus dem C hoch n, also im einfachsten Fall ist das auch ein reeller Vektor,

dann ist lambda eine reelle Zahl. Dieser Vektor heißt ein Eigenvektor der Matrix a. Warum ist das

überhaupt für Sie interessant? Später werden Sie ja viel mit Differentialgleichungen zu tun haben,

das ist so das Modell das am häufigsten vorkommt im Maschinenbau. Also später

Differentialgleichungen. Bei den Differentialgleichungen steht auf der linken Seite y' von t,

also die Ableitung von der Funktion y von t und y ist hier im R hoch n, also zu jedem festen

Zeitpunkt t haben sie einen Vektor im R hoch n und die Differentialgleichung die drückt y' als

Funktion von y aus, zum Beispiel in dieser Form, das ist die einfachste Form eine lineare

Differentialgleichung y' ist grad die Matrix a multipliziert mit einem Vektor y von t,

also mit dem aktuellen Zustand. Das ist eine lineare Differentialgleichung und die soll dann

gelten zum Beispiel für t größer gleich Null und sie fangen dann an zur Zeit t gleich Null und da

haben sie einen Anfangszustand gegeben sagen wir y von Null ist gleich x aus dem R hoch n mit a mal

x gleich lambda mal x, also dann ist das x ein Eigen Vektor dieser Matrix a und das lambda ist

ein Eigenwert. Also wenn sie damit starten, dann können sie hier diese lineare Differentialgleichung

sehr einfach lösen. Die Lösung können sie mit der Exponentialfunktion dann hinschreiben, y von t

ist gleich e hoch lambda t, das ist ja eine Zahl multipliziert mit dem Vektor x. Das gibt ihnen dann

zu jedem Zeitpunkt ein Vektor und wenn sie die Zeit t gleich Null einsetzen, dann sollte ja die

Anfangsbedingungen erfüllt sein, aber e hoch Null ist ja eins, also zur Zeit Null kommt da tatsächlich

dieser Vektor x heraus. Wenn sie es nach t ableiten, bekommen sie durch die Ableitung der

Exponentialfunktion ein Faktor lambda nach vorne. Wenn sie lambda mal t nach lambda differenzieren,

dann liefert das ja lambda und mit der Kettenregel kriegen sie dann das lambda facher von y von t als

Zeitableitung. Das ist also die linke Seite in dieser Gleichung. Wenn sie diese Funktion mit der

Matrix a multiplizieren, berechnen sie die rechte Seite der Gleichung, dann können sie das e hoch

lambda t vor die Matrix ziehen und dann bleibt da nur a x stehen, aber a mal x ist ja gerade lambda

mal x. Also da bekommen sie am Ende auch das lambda fache heraus. Das ist also eine Lösung dieser

Differential Gleichung. Das heißt, wenn sie zum Beispiel eine ganze Basis des Vektor Raums aus

Eigenvektoren haben, können sie damit für beliebige Anfangszustände durch Linearkombination

solcher Lösungen die Lösung der Differential Gleichung hinschreiben und das ist also eine

wesentliche Anwendung dieser Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren, die wir jetzt ein bisschen

entwickeln. Die Definition haben wir ja schon wiederholt. Um jetzt Kandidaten für diese

Eigenwerte zu bekommen, geht man meistens so vor, wir formen diese Gleichung um. Zur Bestimmung

von Eigenwerten formen wir die Eigenwert Gleichung um, diese Gleichung.

Und zwar ist die Äquivalent zu der Gleichung lambda mal Einheitsmatrix minus Matrix a

multipliziert mit dem Vektor x ist der Nullvektor. Einheitsmatrix mal Vektor x gibt ja den Vektor x

wieder, also lambda mal i mal x ist genau dasselbe wie lambda mal x. Hier können sie ohne weiteres

noch eine Einheitsmatrix einbauen und das hat den Vorteil, dass sie jetzt hier auf der linken

Seite eine Matrix haben und das x soll ja ungleich Null sein, die Eigenvektoren sind immer ungleich

Null, der Nullvektor ist kein Eigenvektor und hier durch diese Form der Gleichung sieht man diese

Eigenwertvektoren sind im Kern von lambda mal i minus a. Lambda mal i minus a hat einen nicht