Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Tag zusammen, grüß Gott. Ich hoffe, Sie haben jetzt alle einen Platz in einer Übungsgruppe.

Das lief eigentlich relativ entspannt diesmal. Also wir haben Glück, das StudOn-Team hat die

Rechnerkapazitäten erhöht. Sie haben ja alle Ihre Anträge gestellt. Es ist so, bei den Winglern

gibt es ja die Studienrichtungen wegen Maschinenbau und wegen IKS, aber die Verknüpfung mit den

Nummern funktioniert nicht so richtig. Deshalb musste ich dann diese Anträge immer von Hand

genehmigen. Aber ich glaube, jetzt ist jeder versorgt mit einer Übungsgruppe, die auch zu

dem Stundenplan passt. Und es beginnt ja auch direkt nach der Vorlesung mit den Übungen. Gibt es dazu

noch irgendwelche Fragen? Also Sie kennen Ihren Raum und da gehen Sie dann einfach hin zu der

Übungsgruppe und dann sehen Sie ja, wie das funktioniert. Die Aufteilung ist jetzt so, dass

eigentlich alle bis auf einen einen Sitzplatz haben sollten in der Übungsgruppe und der eine

der weiß es auch. Ja, gut. In der letzten Vorlesung haben wir die reellen Zahlen diskutiert,

die kannten Sie ja schon aus der Schule. Ich habe dargestellt, dass man die Eigenschaften der

reellen Zahlen alle auf eine gewisse Liste von Grundeigenschaften zurückführen kann. Und diese

Grundeigenschaften sind diese Axiome, die Sie auch in dem Skript finden. Wir haben sie ja auch

nochmal aufgelistet. Das sind einfach die üblichen Rechenregeln, mit denen Sie sowieso schon oft

gearbeitet haben. Sowas wie das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz und daraus

folgt dann alles weiter. Bei den reellen Zahlen kommen noch die Anordnungsaxiome dazu und das

Vollständigkeitsaxiom und das Archimädische Axiom. Und das Vollständigkeitsaxiom ist gerade das,

mit dem man aus den rationalen Zahlen heraus diese reelle Achse vervollständigt. Also damit kann man

dann zum Beispiel alle quadratischen Gleichungen lösen, wenn die rechte Seite positiv ist. Wenn die

rechte Seite negativ ist, dann muss man wiederum den Zahlenbereich erweitern zu den komplexen

Zahlen. Heute werden wir hauptsächlich über die komplexen Zahlen sprechen, aber als erstes brauchen

wir noch eine weitere Definition einer Funktion, die auf den reellen Zahlen definiert ist und das

ist der Absolutbetrag. Der heißt einfach, dass man bei der reellen Zahl das Vorzeichen weglässt,

das kennen Sie wahrscheinlich auch schon, für eine Zahl x Element r, also eine reelle Zahl, definiert

man den Betrag x Betrag. Also das x kommt dann zwischen die sogenannten Betragsstriche,

das definiert man mit einer Fallunterscheidung, das ist nämlich definiert durch x Betrag ist

gleich x, falls das x größer oder gleich Null ist und x Betrag ist minus x, falls x Betrag kleiner

Null ist. Wer hat denn die Betragsfunktion noch nie gesehen? Sind das sehr viele oder kennen Sie die?

Also ich gehe mal davon aus, dass Sie die schon kennen, das ist gut, weil die nämlich auch in den

ersten Übungsaufgaben direkt vorkommt und also da können Sie wieder mal sich daran erinnern,

wie das funktioniert. Um sich so eine reelle Funktion vorzustellen, ist es ja immer gut auch

den Graphen zu betrachten. Dazu nehmen wir die reelle Achse und für die Funktion, die wir dann

betrachten wollen, machen wir eine zweite Achse und dann tragen wir die Funktionswerte auf. Der

Betrag von der Null ist ja Null und dann haben wir hier die beiden Äste, das ist einfach so eine

Diagonale für positive x auf der positiven Seite und auf der negativen Seite ist es minus x, da geht

es also auch gerade nach oben und bei der Null hat man diesen typischen Knick hier, der wird später

noch wichtig sein, wenn wir Differenzierbarkeit betrachten. Also dies ist eine typische Nicht-Differenzierbarkeit,

wo man schon so einen stetigen Übergang ohne Sprung hat, aber hier gibt es einen Knick, da kann man

keine eindeutige Tangente mehr zuordnen. Also hier auf der linken Seite hätte ja die Tangente

überall die Steigung minus eins, weil die Funktion ja selbst so aussieht wie eine Gerade und hier rechts

geometrisch ist die Tangente auch wie die Funktion, eine Gerade mit der Steigung eins, aber hier, da

weiß man nicht, was man da machen soll, also das wird später noch ein wichtiges Beispiel sein. Was

jetzt interessant ist, ist diese Fallunterschaltung in der Definition der Betragsfunktion. In den

Übungsaufgaben werden jetzt mehrere Beträge geschachtelt, also Betrag von eins plus x-Betrag

minus 2z oder sowas und dann müssen sie halt sukzessive die Fallunterscheidungen betrachten

und alle Beträge auf diese Weise auflösen und dann können sie genau sehen, was da passiert. Die

Betragsfunktion, die misst also die Größe der reellen Zahl, den Abstand von der Null könnte man

auch sagen. So einen Abstand werden wir dann auch später zum Beispiel in der Ebene betrachten,