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Ich habe schon mal dieses Bild hier aufgelegt das Zeig sollte eine Maxx im

der Darstellung Kask

jedes Bild, wenn sie so verpixeln, können sie auch als Matrix auffassen. Das ist dann eher etwas

Anschauliches. Also hier habe ich folgende Matrix gezeigt. Ach so, das ist so geht's. Also das sind

die Einträge, das sind halt irgendwelche Zahlen und wenn sie die den Farben zuordnen, dann kommt

so ein Bild heraus. Wir kamen ja auf die Matrizen über die linearen Abbildungen. Eine lineare

Abbildung ist ja durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig festgelegt. Da hat man also eine endliche

Anzahl von Vektoren, also so viele wie die Dimension des Vektoraums V ist, aus dem man abbildet. Und die

kann man dann in eine Liste hintereinander schreiben. Und wenn man die Klammern zwischen den Vektoren

weg lässt, dann hat man schon eine Matrix. Also eine lineare Abbildung vom R hoch N in den R hoch M

ist durch die Bilder der Basisvektoren, ist Phi von e n schon eindeutig festgelegt. Das liegt daran,

dass man ja alle Vektoren im R hoch N als Linearkombination von e 1 bis e n in eindeutiger

Weise darstellen kann. Und wegen der Linearität von Phi kann man dann aus dieser Information auch

schon das Bild eines beliebigen Vektors in R hoch N berechnen. Und diese Informationen können wir

jetzt in eine Matrix schreiben. Man schreibt die Einträge Phi von e 1 bis Phi von e n in eine

M Kreuz N Matrix. Also wenn wir aus dem R hoch N abbilden, dann ist M vorne die Dimension des

Bildraumes im R hoch M also. Und N, die zweite Anzahl, ist die Anzahl der Einträge in den Vektoren,

aus denen wir abbilden. M entspricht ja der Anzahl der Zeilen der Matrix. Zeilenanzahl

ist M und dieses N entspricht der Spaltenanzahl. Also diese Matrix hat dann M Zeilen, die gehen

von links nach rechts und N Spalten, wenn man von oben nach unten die Vektoren betrachtet.

Wir hatten schon mit Bemerkungen angefangen, wo wir zum Beispiel die Nullmatrix definiert haben. Die

hat als Einträge lauter Nullen. Also wenn Sie das entsprechende Bild für die Nullmatrix sich

vorstellen, dann wäre das halt einfarbig, weil alle Werte gleich sind. Also das ist jetzt nicht

die Nullmatrix, aber dann hätten Sie einfach nur ein Rechteck in einer Nullfarbe. Also hier,

das sind Temperaturkodierungen. Also rot ist halt warm und das soll heiß heißen. Also dunkelrot

sind die großen Einträge und die negativen Einträge sind dann als negative Temperaturen

interpretiert und deshalb dann so blau, also besonders kalt. Und hier ist es so mittelwarm.

Die Nullmatrix hatten wir definiert, dann gibt es noch eine weitere wichtige Matrix,

das ist die Einheitsmatrix. Die Matrizen gehören ja zu den linearen Abbildungen. Und eine besonders

wichtige lineare Abbildung ist die Identität, die nichts macht, die alle Vektoren unverändert

lässt. Das ist die Abbildung mit Phi von x gleich x. Das ist eine lineare Abbildung und die

Einheitsvektoren werden hier durch diese Abbildung natürlich auch auf sich selbst abgebildet. Also

das ist eine Abbildung vom R hoch N in den R hoch N. Phi bildet den R hoch N in den R hoch N ab,

erhält man eine entsprechende Matrix und hier ist die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der

Spalten und das nennt man dann eine quadratische Matrix. Und diese Matrix hier heißt Einheitsmatrix,

die enthält wie üblich die Bilder der Einheitsvektoren und das sind in dem Fall ja wieder

die Basisvektoren. Und wenn man das dann aufschreibt, sieht es so aus, also sie haben eine 1 oben links

und darunter nullen und dann wandert die 1 an die zweite Stelle in die zweite Zeile und in der

dritten Spalte ist die 1 auch in der dritten Zeile und so geht es weiter. Und am Ende der

quadratischen Matrix haben sie die 1 unten in der Ecke. Also das kann man auch in unserer Bildstruktur

malen, dann sähe das passende Bild so aus, also sie haben in der Mitte Farbe und drum herum die

Nullen, können die ja mal weiß machen und der Rest entspricht dann halt dieser Nullfarbe. Das

wäre dann das Bild für die Einheitsmatrix, die Identität. Diese

Einheitsmatrix spielt eine besondere Rolle, die spielt später in einem gewissen Sinne

tatsächlich die Rolle einer 1, deshalb gibt es auch eine andere Notation, dass man eine 1 schreibt

mit einem N drunter, um dieser Einheitsmatrix zu bezeichnen. Also das ist die Einheitsmatrix.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung gesehen, dass wir diese linearen Abbildungen auch verknüpfen

können. Wir können aus den linearen Abbildungen Linearkombinationen bilden und diese Linearkombinationen

lineare Abbildungen sind dann auch wieder lineare Abbildungen. Und wenn wir dann die Matrizen