Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir auch über Extremstellen gesprochen.

Wenn Sie so eine Funktion haben, die differenzierbar ist, dann untersucht man ja oft die lokalen Extremer.

Also wie hier an der Skizze, da haben wir hier so einen lokalen Minimalpunkt.

Hier ist das globale Minimum, hier ist ein lokaler Maximalpunkt und am Rand sind hier auch lokale Extremer.

Und hier im Inneren des Intervalls ist ja die Funktion differenzierbar.

Und hier an den Extremstellen ist die Ableitung 0. Die Tangenten sind hier horizontal.

Wenn die Tangenten nicht horizontal sind, dann kann man ja zum Beispiel hier in dem Fall nach links laufen, dann wird der Wert größer.

Also dann kann es keine Extremstelle sein. Also nach links wird es größer und nach rechts wird es kleiner.

Und wenn diese Tangente horizontal ist, dann heißt es eben, wenn ich nach links und rechts laufe, kann der Wert in beide Richtungen kleiner werden oder in beide Richtungen größer.

Also das ist eine notwendige Optimalitätsbedingungen in Punkten, wo die Funktion differenzierbar ist.

Da muss also in so einem lokalen Extremum die Ableitung verschwinden.

Wenn man jetzt eine gegebene Funktion, die man analytisch hat, auf Extremstellen untersucht, dann sucht man oft nach Nullstellen der Ableitung.

Und so machen wir das mal für dieses Beispiel. Hier sehen Sie so eine Funktion, die hat so eine Treppenoptik oder sieht auch aus wie ein Sessel.

Und die ist folgendermaßen definiert. Also f von x ist gleich Pi mal x minus Wurzel 2 mal.

Und dann kommt ein Quotient. Zunächst der Sinus hyperbolicus von Pi mal x geteilt durch Wurzel 2.

Und dann der Sinus von Pi mal x durch Wurzel 2.

Diese Sinusfunktion kennen Sie ja schon gut. Die ist ja Null an der Stelle. Null und den Sinus hyperbolicus hatten wir auch schon.

Das war das entsprechende mit der E-Funktion. Also noch mal zur Erinnerung. Sinus hyperbolicus von z ist ja gleich E hoch z minus E hoch minus z halbe.

An der Stelle Null ist ja der Sinus hyperbolicus Null, genau wie Sie das vom Sinus her kennen.

Und im Nenner stehen die entsprechenden Cosinusfunktionen. Also der Cosinus hyperbolicus von Pi mal x geteilt durch Wurzel 2 plus der Cosinus von Pi mal x geteilt durch Wurzel 2.

Und hier noch mal die Definition von Cosinus hyperbolicus von z. Das ist E hoch z plus E hoch minus z halbe.

Der Cosinus hyperbolicus von z an der Stelle Null ist also 1, genauso wie Sie das vom Cosinus her kennen.

Und Sie wissen ja, Sinusquadrat plus Cosinusquadrat ist konstant. Und bei den hyperbolischen Sinus- und Cosinusfunktionen, da ist es so, die Differenz der Quadrate ist konstant.

Also Cosinus hyperbolicus zum Quadrat minus Sinus hyperbolicus zum Quadrat ist konstant, gleich 1 auch.

So, also das ist unsere Funktion. Und wenn man die plotet, sieht man ja, da tut sich eigentlich nicht so viel.

Optisch sehen wir eigentlich keine lokalen Extremstellen. Aber das versuchen wir jetzt mit diesem Kriterium über die Ableitung nachzuweisen.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitung der Funktion. Diese Funktion ist sehr differenzierbar und die Ableitung berechnen wir jetzt.

Also was ist F Strich von x? Das ist eine gute Gelegenheit, die Ableitungsregeln noch einmal zu wiederholen.

Hier haben wir ja erstmal so eine Summe. Und die Ableitung einer Summe ist ja die Summe der Ableitungen. Also können wir einfach den ersten Term ableiten, das Pi mal x.

Und die Ableitung von x ist ja 1, da bleibt also das Pi, die Steigung, übrig. Und dann ziehen wir den Rest ab.

Da steht also ein Faktor Wurzel 2 davor. Den können wir auch einfach vor die Ableitung ziehen. Die Ableitung ist ja linear.

Also die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Und die Ableitung eines konstanten Vielfaches ist auch das entsprechende Vielfach der Ableitung.

Und danach kommt jetzt ein Quotient, der abzuleiten ist. Und um einen Quotienten abzuleiten, brauchen wir die Quotientenregel.

Und das ist so die umständlichste der Ableitungsregeln, die wir aufgeschrieben haben.

Da muss man sich erstmal merken, dass die Ableitung eines Quotienten da wieder als Quotient dargestellt ist.

Und bei dem Quotienten wird der Nenner einfach quadriert. Also schreiben wir den Nenner zum Quadrat unten hin.

Da steht also Cosinus hyperbolicus von Pi mal x geteilt durch Wurzel 2 plus Cosinus von Pi mal x geteilt durch Wurzel 2.

In Klammern das Ganze zum Quadrat. Und jetzt müssen wir tatsächlich ableiten.

Man beginnt hier mit der Ableitung des Zählers. Also diese Sinustherme werden abgeleitet.

Wenn man den Sinus hyperbolicus ableitet, kommt ja wieder der Cosinus hyperbolicus raus. Und hier haben wir eine Verkettung von Funktionen.

Hier steht ja nicht Sinus hyperbolicus x, sondern Sinus hyperbolicus von Pi mal x durch Wurzel 2.

Also im Inneren ist hier noch so eine Funktion mit einem Faktor Pi durch Wurzel 2.

Und das ist auch die Ableitung der inneren Funktion. Und wir haben ja die Kettenregel gesehen.

Also wenn man so eine verkettete Funktion ableitet, muss man nachher noch nachdifferenzieren.

Und das liefert hier als Faktor Pi durch Wurzel 2 noch hinterher. Das darf man also nicht vergessen hier.

Wir schreiben den Faktor einfach direkt davor. Pi durch Wurzel 2. Das ist das Nachdifferenzieren, was das liefert.

Und dann kommt der Cosinus hyperbolicus. Die Ableitung vom Sinus hyperbolicus an der Stelle Pi mal x geteilt durch Wurzel 2.

Plus. Und dann müssen wir den Sinus ableiten. Und die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus.

Also Cosinus an der Stelle Pi mal x geteilt durch Wurzel 2.