Dieser Audiobeitrag worldt von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So hallo, ich beginne mal mit der Wiederholung.

Gestern haben ja die Regeln vonожалуйста kennen gelernt

Das waren Rechenregeln die Grenzwerte

unter Verwendung von Ableitungen berechnen lassen.

Es gibt oft Grenzwerte mit einer Quotientenstruktur und da können der Zähler und der Nenner beide

gegen Null gehen und dann weiß man nicht, was herauskommt.

Und wenn dann der Zähler und der Nenner durch differenzierbare Funktionen gegeben sind,

kann man den Grenzwert von F durch G ausrechnen, falls der Grenzwert von F' durch G' existiert.

Das ist die Grundidee.

Ich schreibe nochmal die präzise Formulierung auf.

Wir hatten zunächst das für den Typ Null geteilt durch Null formuliert.

Wir brauchen zwei Differenzierbarfunktionen, F und G.

Und beim Typ Null durch Null haben wir eine gemeinsame Nullstelle F von X Null gleich G

von X Null gleich Null.

Und jetzt betrachten wir den Grenzwert des Quotienten F durch G für X gegen X Null.

Falls also der Grenzwert, das ist nur diese Ecke da, ich weiß nicht warum, da gibt es

so eine Rückkopplung.

Aber sie sind ja sehr leise, ich drehe einfach mal den Pegel runter, dann dämpft es etwas.

Also F' von X durch G' von X, da steht jetzt im Zähler und im Nenner jeweils die Ableitung.

Also falls dieser Grenzwert existiert, dann auch der ohne Ableitungen, also ohne Strich.

Aber so existiert auch der Grenzwert Liemers für X gegen X Null von F von X geteilt durch

G von X.

Und der hat denselben Wert, ist also auch gleich L.

Also das ist so eine Basisregel, wo das X gegen X Null geht und wir den Typ Null geteilt

durch Null haben.

Zähler Nullstelle durch Nenner Nullstelle, das gibt es auch für den Typ unendlich geteilt

durch unendlich.

Also wenn der Zähler gegen unendlich geht und der Nenner gegen unendlich, dann hat man

auch eine entsprechende Regel.

Entsprechend, also für den Typ unendlich geteilt durch unendlich.

Wenn Sie zum Beispiel sowas wie 1 durch X haben im Zähler, das geht dann gegen unendlich

für X gegen Null und 1 durch X Quadrat im Nenner, das geht auch gegen unendlich für

X gegen Null.

Und da macht es auch nichts, wenn 1 gegen Minus unendlich geht und das andere gegen

Plus unendlich, also unendlich durch Minus unendlich geht auch, Minus unendlich durch

Minus unendlich wäre natürlich auch kein Problem.

Also entweder haben wir eine Nullstelle im Zähler und im Nenner oder so eine Polstelle,

wo die beiden gegen unendlich divergieren.

Bei unserer Regel geht das X gegen das vorgegebene X Null und das ist hier ja eine reelle Zahl.

Das funktioniert aber auch, wenn das X Null unendlich ist, also wenn das X gegen unendlich

läuft.

Also wenn Sie sich das X Null als unendlich vorstellen, dann bräuchte man hier die Voraussetzung,

dass der Grenzwert für X gegen unendlich von F gleich Null ist und das G auch für X gegen

unendlich gegen Null konvergiert.

Also das geht auch für X gegen unendlich und die Voraussetzungen sind dann zum Beispiel

Limous für X gegen unendlich F von X ist gleich Null gleich Limous für X gegen unendlich

G von X und so weiter.

Also Sie brauchen so einen unbestimmten Quotientenausdruck.

Wenn die Funktion F zweimal differenzierbar ist, dann kann man diese Regel von L'Hôpital