In Aufgabe 8 geht es um Grenzwerte.

Und der erste Grenzwerte, den wir uns anschauen müssen, ist der folgende.

Limes x gegen x Stern von e hoch minus e hoch eins durch x.

Und x Stern ist jetzt ein Platzhalter für folgende Sachen.

Minus endlich 0 von links, 0 von rechts und unendlich.

Also was wir jetzt hier mit 0 minus 0 plus gemeint, das ist einfach nur, wir schauen uns den Grenzwert von x gegen 0 an.

Wir müssen einmal links und einmal den rechtzeitigen Grenzwert bestimmen.

Fangen wir doch mal mit x gegen unendlich an.

Von e hoch minus e hoch eins durch x.

Wir gucken uns das innere an, also x gegen unendlich, das heißt 1 durch x, das geht gegen 0.

Wenn das hier gegen 0 geht, geht e hoch das ganze hier gegen 1.

Dann das hier gegen minus 1, das ist also insgesamt e hoch minus 1.

Der Grenzwert für x geht gegen minus endlich, geht sehr ähnlich.

Ob es jetzt 1 durch x, also ob es x gegen plus oder minus endlich geht, auf jeden Fall geht 1 durch x auch gegen 0.

Das heißt hier ändert sich überhaupt nichts.

Und das ist genau das gleiche, nämlich e hoch minus 1.

Jetzt machen wir mal Limes x geht von oben gegen 0.

Das kann man auch schreiben, als x geht gegen 0 plus.

Also von plus aus gegen 0.

E hoch minus e hoch eins durch x.

E hoch, also eins durch x, wie sieht es aus?

Das ist ja diese Funktion hier.

Wenn wir hier gegen 0 gehen, aber positiv bleiben, geht diese Funktion hier eins durch x gegen plus unendlich.

Das heißt das hier geht gegen plus unendlich.

Dann geht e hoch das ganze hier gegen plus unendlich.

Dann minus das ganze hier gegen minus unendlich, das heißt e hoch minus unendlich.

Und das ist dann 0.

x geht von unten gegen 0.

Von e hoch minus e hoch eins durch x.

Jetzt ändert sich ein bisschen was hier.

Also das hier geht dann, die Funktion sieht so aus, als wenn wir von links gegen 0 gehen, geht das ganze hier gegen minus unendlich.

Dann haben wir hier e hoch eins durch x, das geht dann gegen 0.

Und dann geht das ganze hier gegen 1.

Das heißt, insbesondere wissen wir, der Grenzwert von x geht gegen 0.

Von e hoch minus e hoch eins durch x existiert nicht.

Das heißt, es darf abhängen, ob wir von links oder von rechts da hingehen. Das heißt, er ist nicht wohl designiert.

So, die nächste Aufgabe.

Also das war a.

Und jetzt kommt b.

Bei b geht es um Formigrenzwert.

Liemens x geht gegen 0 von Tangens von x halbe durch x.

Und der Trick ist natürlich jetzt hier erst mal umzuschreiben,

dass Tangens von x halbe gleich Sinus von x halbe geteilt durch Cosinus von x halbe ist.

Das Ganze durch dann nochmal durch x.

Jetzt sortieren wir das ein bisschen um.

Sinus von x halbe geteilt durch x mal eins durch Cosinus von x halbe.

Okay, so jetzt machen wir in den y einfach x halbe.

Das ist der Stilien von y geht gegen 0.

Und Sinus von y geteilt durch 2y mal eins durch Cosinus von y.

Und was passiert ist hier, das hier geht gegen 1, weil Cos von y für y gegen 0 gegen 1 geht.