Im letzten Video hatten wir eine kurze Motivation für Tensoren gesehen aus dem Umfeld des

koschischen Spannungstensors. Das heißt wir haben uns an einem physikalischen Beispiel klargemacht,

wo in der Wildnis Tensoren auftauchen können. Das war alles noch relativ konkret und man hat noch

nicht ganz das Prinzip der Tensoren dort erkennen können und daher wollen wir uns jetzt in diesem

Video mit dem abstrakten Begriff des Tensorproduktes, dem Tensorproduktraum und dem allgemeinen Begriff

von Tensoren beschäftigen. Das ganze wird jetzt deutlich abstrakter werden. Ich werde immer wieder

versuchen an Zwischenstellen Beispiele zu geben, um die mathematischen Konzepte und Eigenschaften

klarer zu illustrieren. Doch wir werden uns jetzt auf jeden Fall ein ganzes Stück von der Anwendung

wegbewegen, um die zugrunde liegenden Konzepte mathematisch zu erfassen. Zuallererst wollen wir

das Tensorprodukt von Vektorräumen abstrakt einführen und an späterer Stelle werden wir dann

konkrete Realisierung diskutieren innerhalb dieser Vorlesung. Aber wir wollen uns erst mal klarmachen,

was ist denn überhaupt das Tensorprodukt und um uns nicht in zu allgemeinen Definitionen zu

verlieren, werden wir jetzt am Anfang eine Annahme machen, nämlich wir schauen uns nur ein Spezialfall

an, der das Tensorprodukt zweier Vektorräume berücksichtigt und das wollen wir vielleicht zuerst

mal festhalten, damit klar ist, dass das hier nur ein Spezialfall ist. Also Annahme für diese

Vorlesung. Wir schränken uns in den folgenden Definitionen auf den Spezialfall zweier Vektorräume

V und W ein und das Ganze kann aber natürlich auch viel allgemeiner aufgezogen werden. Das Ganze

können wir für K verschiedene reelle Vektorräume aufziehen mit dem Prinzip der K-Multilinierität,

das wir auch schon in der Vorlesung kennengelernt haben, aber dadurch werden die ganzen Definitionen

wesentlich komplizierter und um am Anfang überhaupt zu verstehen, was ist ein Tensorprodukt,

macht es Sinn sich auf einen einfachen Fall zu beschränken. Wichtig ist zu verstehen,

dass die folgenden Definitionen sich verallgemeinern lassen und dass wir das später auch tun werden,

nur für den Moment reicht uns der einfache Fall von zwei Vektorräumen, denn dann sind

alle Abbildungen, die wir betrachten, bilinearformen und die kennen sie hoffentlich noch aus dem letzten

Semester. Also, diese lassen sich direkt mit dem Konzept der K-Multilinierität,

das war in dem Prinzip Funktion mit K-Eingabeargumente, die linear waren in diesen Argumenten,

auf allgemein K aus N, Vektorräume, wo habe ich denn da oben geschrieben, Spezial,

auf K-Vektorräume, verallgemeinern. Gut, das sei kurz festgehalten und jetzt fangen wir auch

schon direkt an. Wir beginnen mit der Definition des Tensorproduktes und darüber werden wir auch

den sogenannten Tensorproduktraum kennenlernen, wissen was ein Tensor selber ist und einen

Begriff wird auch da auch in die sogenannte universelle Eigenschaft und diese Begriffe wollen wir dann im

Folgen noch ein bisschen diskutieren und versuchen mit kleinen Beispielen zu illustrieren, warum diese

mathematisch wichtig sind. Beginnen wir zunächst mit der Definition des Tensorproduktes.

Also wie gesagt wir machen den Spezialfall von zwei Vektorräumen, die brauchen wir jetzt,

ist ein V und V, zwei reelle Vektorräume, also bei dem Körper R und wir betrachten jetzt einen

neuen Vektorraum, den nennen wir x, ein reeller Vektorraum, groß x nennen, vielleicht ein blau,

diesen nennen wir ein Tensorproduktraum, der erste Teil der Definition, falls eine biliniäre

Abbildung existiert, das ist jetzt eine wichtige Eigenschaft, deswegen werde ich den grün

highlighten und Sie können sich vorstellen im allgemeinen wäre es jetzt eine K-multiliniäre

Abbildung, für uns nur einfach bilinear, damit es einfacher ist und die wollen wir mit folgendem

Symbol notieren, das ist dieses Kreuz mit einem Kreis drumrum, haben wir schon kennengelernt im

letzten Video aus dem Fall des Kuschis und Spannungstensors, da tauchte das im diadischen

Produkt auf. Allgemein wollen wir diese biliniäre Abbildung nun so bezeichnen und ich werde sie

immer aussprechen als Tensor, damit ist sozusagen dieser Operator gemeint, diese biliniäre Abbildung,

denn wir werden später sehen, dass das unser Tensorprodukt definiert. Ja und das ist eine

biliniäre Abbildung von den Räumen V und W, also das kathesische Produkt aus V und W, wir können

Paare daraus bilden und die sollen abbilden in diesen neuen Raum X und es muss natürlich

X gleich noch ein bisschen charakterisieren, also falls eine biliniäre Abbildung existiert,

sodass die folgende universelle Eigenschaft gilt, das ist auch ein wichtiger Begriff,

den wir später näher erklären werden. Universelle Eigenschaft gilt, das ist jetzt ein wichtiger