In der letzten Vorlesung haben wir den wichtigen Begriff des Tensorprodukts und dahingehend

auch die Begriffe des Tensorproduktraums und der Tensoren eingeführt.

Und in diesem Video wollen wir uns damit der Frage beschäftigen, ob und wie wir Tensorprodukte

konstruieren können.

Es stellt sich nämlich heraus, dass für zwei beliebige reelle Vektorräume von W es immer

ein Tensorprodukt gibt und das wir uns in diesem Video genau anschauen.

Und nicht nur das, sondern wir werden auch im Beweis des folgenden Theorien sehen, dass

wir dieses Tensorprodukt immer konkret konstruieren können.

Das heißt, die explizite Angabe eines Tensorprodukts liefert uns hier auch schon die Existenzaussage

und das ist etwas, was wir einen konstruktiven Beweis nennen.

Den wollen wir uns zusammen heute anschauen und wir beginnen direkt mit der folgenden

Hauptaussage dieses Videos, nämlich die Existenz eines Tensorprodukts.

Dazu das folgende Theorien.

Existenz des Tensorprodukts.

Wir nehmen einfach zwei beliebige reelle Vektorräume, die können endlich oder sogar unendlich dimensional

sein.

V und W für zwei reelle Vektorräume.

V und W.

Existiert stets mindestens ein Tensorprodukt.

Mindestens ein Tensorprodukt der folgenden Art.

Schon gesehen, das ist eine biliniäre Abbildung in unserem Spezialfall.

Wir haben uns noch nicht auf den allgemeinen Fall von K-Multi-Linearform verständigt.

Das heißt, wir nehmen immer noch an, dass es nur zwei Vektorräume sind und die liegen

natürlich im Raum der Zweilinearform auf dem kathesischen Produktraum V Kreuz W und bilden

ab in den Tensorproduktraum V Tensor W.

Genau, das ist auch schon die ganze Aussage.

Wir sagen einfach nur beliebige Vektorräume gegeben.

Wir können immer ein Tensorprodukt finden und, wie wir gleich sehen werden, können

wir es sogar explizit konstruieren.

Genau, das heißt, wir werden jetzt einen sogenannten konstruktiven Beweis anstreben.

Das heißt, wir zeigen die Existenz dieses mathematischen Objekts, Tensorprodukte, indem

wir es explizit konstruieren und angeben.

Es gibt aber auch Beweise, die nicht konstruktiv sind, wo man die Existenz über Umwege zeigt.

Wir machen das Ganze jetzt hierbei mal explizit, denn solche Beweise geben am meisten Einsicht

über die Natur der zugrunde liegenden Strukturen.

Wir fangen an und geben uns eine Basis vor der beiden Vektorräume.

Und wie wir gesagt haben, es können auch unendlich dimensionale Räume sein.

Das heißt, wir müssen immer mal davon ausgehen, dass es Hamelbasen sind.

Die hatten wir schon mal eingeführt, dass man sozusagen Basen, die auch überab zählbar

und endlich viele Elemente haben können.

Wobei wichtig ist, dass jedes Element des Vektorraumes sich durch eine endliche Linearkombination

dieser Basis-Elemente darstellen lässt.

Das ist halt im Gegenteil zur Schauder-Basis, wo sowas nicht der Fall ist.

Wir wählen jetzt mal zwei Basen.

Die erste vom Vektorraum V nennen wir dementsprechend BV.

Das ist jetzt eine Menge von Basis-Elementen BI aus dem Vektorraum V.

Für die gilt, dass I ein Index aus einer Indexmenge I ist und I kann überab zählbar und endlich

sein.

Machen wir keine Aussage zu, im endlich Dimensionalen ist es klar, dass hier eine endlich Dimensionale

Menge, das sei eine, ich schreibe in Klammern, Hamelbasis, damit wir das nicht vergessen.