Wie wir im letzten Video gesehen haben, existiert für zwei beliebige Vektorräume V und W zumindest

immer mindestens ein Tensorprodukt, sodass wir immer einen Tensorproduktraum bilden können.

Und wir haben sogar explizit angegeben, wie man solch ein Tensorprodukt konstruieren kann.

Jetzt stellt sich die Frage, wenn ich zwei R-Vektorräume V und W nehme, aber unterschiedliche

Tensorprodukte, also unterschiedlich biliniäre Abbildungen, darauf definiere, die die universelle

Eigenschaft erfüllen. Wie unterscheiden sich dann die Ziel-Tensorprodukträume? Und in diesem

Video wollen wir sehen, dass alles, was wir rausbekommen, immer isomorph zueinander ist.

Das heißt, wir können auch mit unterschiedlichen Tensorprodukten rechnen und die Ergebnisse

miteinander identifizieren. Und wir können auch die resultierenden Tensoren alle ineinander

umrechnen. Das heißt, das Ergebnis dieser kurzen Vorlesung wird es sein, dass wir bei

zwei gleichen zugrunde liegenden Vektorräumen immer im selben Tensorproduktraum landen,

bis auf Isomorphie. Dazu wollen wir erst einmal folgendes Lämmer formulieren, das uns eine klare

Aussage liefert. Das Lämmer lautet, wie auch der Titel dieser Vorlesung, Isomorphie von

Tensorprodukträumen. Und wir fangen direkt an. Es seien V und W zwei beliebige R-Vektorräume.

Zwei R-Vektorräume. Und wir betrachten zwei unterschiedliche Tensorprodukte auf dem kathesischen

Produktraum. Die wollen wir jetzt nennen, Tensor1 und Tensor2, um sie zu unterscheiden.

Das heißt, wir haben eine Abbildung Tensor1, die bildet ab von V Kreuz W, dem kathesischen

Produktraum, in einen Tensorproduktraum, den nennen wir V Tensor1 W. Und wir haben eine

zweite Abbildung, ganz analog, die nennen wir Tensor2, die bildet auch ab vom kathesischen

Produktraum, nun in einen Tensorproduktraum, den bezeichnen wir mit V Tensor2 W. Die große

Frage, die sich nun stellen wird, ist, diese beiden Produkträume auf der rechten Seite,

wie kann ich die miteinander vergleichen? Wir werden sehen, dass diese isomorph zueinander

sind. Das heißt, wir können an der Stelle jetzt schon mal sagen, dass es hier eine Isomorphie

zwischen den beiden gibt. Aber formulieren wir doch das Leben erstmal zu Ende. Zwei

Tensorprodukte. Jetzt sagt uns dieser Satz, dann existiert genau ein Isomorphismus, der

es mir erlaubt, von einem Tensorproduktraum in den anderen hinüberzukommen, sodass ich

sozusagen die Verknüpfung untereinander vertauschen kann. Also, dann existiert, das

möchte ich hier vorheben, genau ein Isomorphismus, das heißt, der ist eindeutig, den wollen

wir P nennen. Der bildet ab, sozusagen von einem Tensorproduktraum, nämlich V Tensor1 W,

in den anderen Tensorproduktraum V Tensorprodukt2 W. Und folgende Eigenschaft gilt, ich kann

sozusagen die Tensorprodukte vertauschen. Das heißt, so das gilt, wir können jetzt

das Tensorprodukt2 ersetzen durch eine Anwendung des Tensorproduktes 1, wenn ich darauf nochmal

danach diesen Isomorphismus P anwende. Das ist quasi all das, was das sagt. Um sich

das bildlich klar zu machen, können wir uns folgendes Diagramm anschauen. Dieses Diagramm

macht eigentlich klar, wie wir uns bewegen. Wenn wir ausgehen vom kathesischen Produktraum

V Kreuz W, dann haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können jetzt zum einen mit Tensorprodukt1

abbilden in den Tensorproduktraum V Tensor1 W. Ich kann aber auch in den anderen Raum

rübergehen, das hier zu Tensorprodukt2, in den Raum V Tensor2 W. Jetzt sagt mir dieses

Lämmer, dass es dazwischen eine eindeutige Abbildung gibt, die es mir erlaubt, dazwischen

zu wechseln. Das ist sozusagen die Abbildung P und die erlaubt es mir von V Tensorprodukt1

W rüberzukommen, Isomorph, also mit einer eindeutigen Zuordnung aller Elemente in den

anderen Raum. Das zeigt auch gleichzeitig, dass die Kardinalität der beiden Mengen bzw.

die Dimension der beiden Vektorräume gleich sein muss, denn sonst hätten wir keine eindeutige

Zuordnung. Genau, und der letzte Teil, den wir hier oben gesehen haben, diese letzte

Eigenschaft, die sagt im Diagramm eigentlich nur, dass wenn ich von V Kreuz W hier hinunter

möchte in den Tensorproduktraum V Tensor2 W, dann kann ich das Ganze auch über einen

Umweg machen. Ich kann sozusagen erst hier in diesen Raum rüber wechseln und von dem

dann mit P hier runter gehen und ich erhalte dasselbe Element. Gut, das ist die Aussage

des LEMMERS. Der Beweis ist erstaunlich einfach, ist relativ untechnisch würde ich sagen.

Wir nutzen eigentlich nur die Eigenschaft, die universelle Eigenschaft der Tensorprodukte