Im letzten Video haben wir wiederholt, was gewöhnliche Differentialgleichungen und gewöhnliche

Differentialgleichungssysteme sind und haben zum Schluss bemerkt, dass im Fall von dynamischen

Systemen, für die wir uns in dieser Vorlesung besonders interessieren, wir häufig auch

Differentialgleichungen als zeitabhängige Gleichungen schreiben. Das heißt, wir haben

die unabhängige Variable x ersetzt durch t und auch dementsprechend die Notation für

Ableitung angepasst. Wir werden jetzt im Folgenden einen neuen Begriff einführen, den Sie noch

nicht kennen. Das sind die sogenannten autonomen Differentialgleichungen, die eine Schlüsselrolle

spielen werden bei der Charakterisierung von dynamischen Systemen. Und hier werden wir

auch in der Notation von zeitabhängigen Gleichungen bleiben. Das heißt, wir machen so weiter,

wie wir das letzte Mal aufgehört haben. Und bevor wir zu den autonomen Differentialgleichungen

selbst kommen, wollen wir einen neuen Begriff einführen, der eine Menge beschreibt, die

Sie schon kennen, nämlich den Definitionsbereich unserer unbekannten Funktion y. Und dazu wollen

wir folgende Bemerkungen machen am Anfang, nämlich was ist eigentlich ein Phasenraum.

Den werden wir noch ein bisschen näher charakterisieren in den kommenden Vorlesungen. Aber jetzt führen

wir erstmal den Begriff ein. Ich werde das Ganze jetzt nicht als Definition aufschreiben,

denn eigentlich kennen Sie schon die Menge, um die es hier geht. Wir werden Sie jetzt

hier nur in diesem Kontext anders benennen. Und wenn wir eine gewöhnliche Differentialgleichung

als ein mathematisches Modell für ein kontinuierliches dynamisches System haben, dann wird die offene

Menge, die wir das letzte Mal in der Vorlesung u benannt haben, das war dieses kathesische

Produkt von r hoch n, und zwar n plus einmal, das ist etwas, das wir dann als Phasenraum

bezeichnen. Das Ganze wird später noch ein bisschen klarer. Wenn wir zu Phasenporträts

kommen, dann werden wir das Ganze auch motivieren, wo der Name herkommt. Aber merken Sie sich

jetzt mal am Anfang, wenn wir ein dynamisches System betrachten und dort taucht eine gewöhnliche

Differentialgleichung auf, dann hat diese Menge diesen speziellen Namen. Das wollen

wir hier festhalten. Also betrachten wir eine gewöhnliche Differentialgleichung. Ich schreibe

sie nochmal hin, denn wir werden diese Definition gleich nochmal etwas abwandeln. Da haben wir

gesagt, das ist eine Funktion f in Abhängigkeit der Zeitvariablen t, y von t, der ersten Ableitung,

die haben wir hier mit diesem kleinen Kreis gemalt, von t bis mter Ordnung, das heißt

hier mter Ableitung von t gleich Null. Und diese Differentialgleichung sei das mathematische

Modell hinter einem kontinuierlichen dynamischen System als mathematisches Modell eines. Und

es ist jetzt wichtig, wir müssen ein kontinuierliches System betrachten. Diskret würde keinen Sinn

machen im Falle von Differentialgleichung kontinuierlichen dynamischen Systems. Genau,

dann nennen wir die offene Menge, die hatten wir letztes Mal mit u bezeichnet. Das ist

sozusagen der Definitionsbereich der unbekannten Funktion y, das heißt die offene Menge u

Teilmenge. Ja, und beim Differentialgleichungssystem haben wir gesagt, das Ganze bildet ab nach

r hoch n, wir haben n Gleichung. Und wie wir hier oben abzählen können, haben wir m plus

1 Werte, das heißt wir haben hier den ersten Wert, den zweiten Wert bis zum m plus ersten

Wert, das heißt so oft brauchen wir das Ganze im kathetischen Produkt. Diese offene Menge

wird in diesem Kontext auch als Phasenraum bezeichnet. Wo der Name herkommt, das erklären

wir später, wenn es zu Phasenporträts geht, nehmen wir jetzt erst mal so hin. Und es gibt

nicht nur den Phasenraum, sondern es gibt auch den erweiterten Phasenraum. Da nehmen

wir noch die Definitionsmenge, in der t lebt, also das offene Intervall, i mit der Definitionsbereich

i Kreuz u, also dieses offene Intervall, Kreuz u der Funktion u f, die war stetig für Differentialgleichung,

dieser wird als erweitert Phasenraum bezeichnet. Gut, naja, und was ist das eigentlich dieser

Phasenraum? Der Phasenraum wird später in einem physikalischen System oder in einem

dynamischen System einer physikalischen Anwendung alle möglichen Zustände dieses Systems beschreiben.

Das heißt, jeder Punkt im Phasenraum, den ich mir daraus nehme, wird dann eindeutig

ein Zustand des Systems zugeordnet. Und das Ganze können wir dann nachher wunderbar visualisieren.

Das hilft uns dann zu verstehen, was in dem dynamischen System stabile Zustände sind,

ob diese periodisch sind, ob sie vielleicht instabil sind und divergieren. All das können