In diesem kurzen Video zu Anfangswertproblemen wollen wir noch einmal wiederholen, was

Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichung eigentlich darstellen. Denn dieses Konzept werden wir

jetzt noch häufiger benutzen, gerade im Kontext von kontinuierlichen dynamischen Systemen. Und

darum macht es Sinn, nochmal auf die wichtigsten Eigenschaften und die Motivation dieser Anfangswertprobleme

einzugehen. Um gewöhnliche Differentialgleichung zu lösen, betrachten wir in der Regel

Anfangswertprobleme nicht, weil diese vom Himmel fallen, sondern in der Regel, damit wir

irgendwie eine eindeutige Lösung für ein Problem bestimmen können. Wie wir in diesem Video sehen

werden, sind die Anfangszeitpunkte und die Anfangszustände, die dort angenommen werden,

genau der Schlüssel zu den Lösungen, die wir dann herleiten können. Ansonsten würden wir nämlich

eine Funktion Schar erhalten. Wir fangen also an zu sagen, dass wir für ein Anfangswertproblem

erstmal einen speziellen Zeitpunkt t0 wählen. Wir können ihn auch einen ausgewiesenen Zeitpunkt

nennen, der irgendwie im Zeitintervall des Definitionsbereichs liegt. Wir wählen einen

ausgewiesenen Zeitpunkt t0 aus i. Das soll unser Zeitintervall sein und zu diesem brauchen wir

auch einen expliziten Anfangswert der Lösung. Den wollen wir y0 nennen und y0 soll eigentlich

nichts anderes sein, wie die Funktion y ausgewertet an diesem Startzeitpunkt t0. Wenn man diese Wahl

getroffen hat und das Ganze soll aus dem Phasenraum U kommen, dann können wir ein

sogenanntes Anfangswertproblem aufstellen. Das werden wir jetzt in folgender Definition

nochmal kurz aufschreiben und zwar im Fall eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems.

Erste Ordnung, um das Ganze einfach zu halten. Anfangswertproblem. Also wir haben ein gewöhnliches

Differentialgleichungssystem Erster Ordnung, wie in der Definition aus dem vorigen Video. Das heißt,

wir betrachten ein gewöhnliches, ich kürze das mal ab, DGL-System, in dem Fall Erster Ordnung,

um das Ganze nicht zu kompliziert zu machen. Und wie sieht das aus? Naja, wenn wir das Ganze im

Kontext von zeitabhängigen Differentialgleichungen machen, dann können wir aufschreiben, wir betrachten

eine Gleichung f von t, y von t und erste Zeitableitung von y von t, das soll gleich 0 sein,

für alle t aus dem offenen Zeitintervall i. Und dann können wir uns nämlich folgendes

Gleichungssystem anschauen, beziehungsweise wir brauchen noch den erweiterten Phasenraum,

ansonsten wäre die Gleichung noch nicht wohl definiert. Erweiterte Phasenraum,

das war sozusagen die Definitionsbereich für die Funktion f, das ist i Kreuz u. Und in diesem

Beispiel, da wir nur Erster Ordnung sind, können wir das recht einfach angeben, da wählen wir

R0 plus für das Zeitintervall und R hoch n, da wir es mit einem Differentialgleichungssystem

zu tun haben. Naja, jetzt können wir einen Anfangszeitpunkt und einen zugehörigen

Anfangszustand wählen, sei außerdem t0 aus i ein Anfangszeitpunkt

und mit y0 bezeichnen wir den zugehörigen Anfangszustand, 0 aus u, der zugehörige

Anfangszustand, sprich das, was die Lösung der Differentialgleichung an dieser Stelle annimmt.

Dann können wir folgendes Gleichungssystem als Anfangswertproblem betrachten,

dann nennen wir das Gleichungssystem von folgender Form, wir schreiben nochmal

die Differentialgleichung jetzt in expliziter Form auf, y in der Zeitableitung von t ist gleich

f von t, y von t, das soll y darstellen, für alle t aus dem Zeitintervall i und die Anfangswertbedingungen,

so nennt man das Ganze, ist y an der Stelle t0, soll gerade der Wert y0 sein, den wir uns vorgegeben haben.

Ja, und dieses Gleichungssystem nennen wir dann ein Anfangswertproblem

des gewöhnlichen Differentialgleichungssystems und häufig, wenn wir es nicht explizit anders angeben,

gehen wir davon aus, dass wir als Startzeitpunkt t0 gleich 0 wählen, das heißt eigentlich nichts anderes,

als dass wir unser mathematisches Modell so verschieben in der Zeit, dass sozusagen unser

Anfangszeitpunkt gerade mit der 0 zusammenfällt, das hat manche schöne Eigenschaften, muss aber

auch nicht sein, also wir beschränken dadurch nicht die Allgemeinheit. Genau, jetzt haben wir eingeführt,

was ein Anfangswertproblem ist und erst diese explizite Wahl des Anfangszeitpunktes und des

Anfangszustandes erlaubt es uns, dass wir eindeutige Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen

bestimmen können, denn ohne diese zusätzlichen Informationen würden wir nur Funktionen scharen

bekommen als Lösung der Differentialgleichung und es wäre überhaupt nicht klar, was denn für ein

gewisses Problem die gesuchte Lösung ist. Das Ganze wollen wir noch mal abschließend an folgendem