Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung in Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben uns letzte Vorlesung überlegt, wie wir Produktmaße bzw. Produkt-Sigma-Algebren

anschauen können oder definieren können.

Und das haben wir dafür getan, im Endeffekt im Hintergrund, um das Prinzip von Cavalieri

auf eine mathematisch fundierte Grundlage zu bringen.

Wenn wir uns nochmal anschauen, was das Prinzip von Cavalieri war, Bonaventura Cavalieri

heißt er übrigens, was ich finde ist ein wunderschöner Name.

Allgemein kommen da sehr viele Italiener vor.

Die ganze Maßtheorie ist bis heute recht italienisch.

Wir haben eine Menge, das ist mal der Rn, das ist der Rm und die wollen wir irgendwie

messen.

Wir wollen das Volumen davon messen.

Also hier, das ist der Rn plus M und darauf haben wir vielleicht die Lebesg-Sigma-Algebra

definiert.

Und dann haben wir uns überlegt, naja, wir können die irgendwie messen, indem wir vielleicht

hier solche Schnitte betrachten.

Das kann man einerseits so machen und das kann man andererseits so machen.

Was wir in der letzten Vorlesung mehr oder weniger gezeigt haben, ist, dass das Produkt-Lebesg-Maß

auf der Produkt-Sigma-Algebra mit dem richtigen Lebesg-Maß auf R hoch n plus m übereinstimmt,

was in dem Bild dann sich irgendwie dazu übersetzt, dass wenn wir hier so einen Stapel haben von

Boxen, dann können wir diesen Stapel von Boxen messen, indem wir die Einzelvolumina

aufsummieren.

Also jeweils diese Länge mal diese Länge und eventuell endlich aufsummieren.

Das ist was wir von letzter Woche kennengelernt haben und das ist insbesondere irgendwie equivalent

dazu, dass man sich das hier überlegt.

Das ist das klassisch-übere Bild, das man hier bei Cavalieri hat.

Das ist auch die erste Überlegung.

Ich habe hier so ein paar Boxen übereinander gestapelt, dann soll das Volumen von dem gleich

dem Volumen sein, wenn ich die Boxen irgendwie verschiebe.

Das ist was wir letzte Woche hatten und das haben wir damit so ausgedrückt, dass das Produktmaß

lambda n von a Kreuz b, kann man darstellen, über lambda a mal lambda m von b.

Jetzt wollen wir aber irgendwelche Mengen messen und da ist es dann ein bisschen anders.

Da können wir das nicht einfach hier mehr so aufsplitten, sondern was wir jetzt da erwarten

ist, wenn wir jetzt eine Menge aus der Produkt-Sigma-Algebra haben, dann haben wir Schnitte, die wir

hier definiert.

Schauen wir uns mal die blauen hier an.

gx war gleich alle y aus r auch m, sodass x, y in e liegt.

Das sind praktisch genau die blauen Linien.

Und jetzt ist die Idee, dass wir hier rüber integrieren und darüber auch das Maß der

Menge bekommen.

Heißt, die Hoffnung ist, was wir zeigen wollen, ist, dass lambda n im Produktmaß lambda m

von e sich schreiben lässt als das Integral über ganz r hoch n.

Dann messen wir jeweils hier den Schnitt mit lambda m, weil es ja eine Menge praktisch

im y-Bereich ist.

lambda m von e x und dann integrieren wir bezüglich d lambda n von x.

Das hoffen wir.

Und wenn das gilt, soll natürlich insbesondere auch dasselbe gelten, wenn wir es uns mit

den roten Linien überlegen.

Das heißt e y d lambda m y und da integrieren wir über den r hoch m.

Genau, das ist, was wir heute zeigen wollen und das hier nennen wir dann Prinzip von