Hallo und herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben uns in der letzten Vorlesung mit dem Prinzip von Cavalieri beschäftigt, was

es uns erlaubt hat, das Maß eine Menge im R hoch n plus m über das Maß im R hoch n

und das Integral über den R hoch m auszudrücken.

Und wir wollen uns das heute nicht nur für Maße, sondern eben für messbare Funktionen

eben anschauen und ein ähnliches Prinzip entwickeln.

Also wir schauen uns vielleicht nochmal an, was Cavalieri uns gegeben hat.

Cavalieri, wir haben gesagt, wir nehmen eine messbare Menge in der Lebesque-Sigma-Algebra

im Raum auf n plus m und dann konnten wir schreiben, dass das Maß der Menge sich ausdrücken lässt

als einmal das Integral über r hoch n Lambda m der Schnitte.

Also wir messen jetzt parallele Schnitte und in dem Fall messen wir einen e x Schnitt und

integrieren dann dahinten über d Lambda n von x.

Das heißt, wir betrachten hier, wenn wir nochmal das Bild hier vielleicht hinmalen, das ist

x ist y.

In dem Fall betrachten wir Schnitte parallel zur y-Achse.

So und ein so ein Schnitt gibt uns hier ein Lambda m von e x.

Das ist das blaue hier.

Und dann integrieren wir da rüber in die Richtung auf und wir haben gesehen, dass das Äquivalent

dazu oder ergibt genau das gleiche, dass wir über r hoch m integrieren.

Jetzt aber eben das Lambda n, das n-dimensionale Maß von den e y-Schnitten, d Lambda m von

y.

Das ist genau die andere Richtung, das heißt, wir betrachten Schnitte, die hier so rüber

gehen, messen dann hier unten mit Lambda n von e y und integrieren dann so rüber auf.

Ok, das ist was wir hatten.

Jetzt sehen wir aber gleich, wenn wir das auf Funktionen übertragen können, dass das

Maß von der Menge e ist ja per Definition gegeben durch das Integral über r hoch n

plus m über die Indikatorfunktion und zwar die Indikatorfunktion von e d Lambda n plus m.

Ja, so was gerade definiert, weil das Integral war definiert über einfache Funktionen und

wenn schon einfache Funktionen drinstehen, zum Beispiel eine Indikatorfunktion hier,

dann ist es einfach die Menge, das Maß der Menge e hier bezüglich dieses Maßes.

Und das können wir jetzt aufteilen mit dem Trick von hier oben, das heißt, wir haben

das Integral über r hoch n stehen, aber hier benutzen wir jetzt genau dasselbe und zwar

das Maß der Menge e x bezüglich m, können wir einfach auch schreiben als das Integral

über r hoch m und jetzt die Indikatorfunktion von e x und da haben wir jetzt d Lambda m,

heißt den blauen haben wir doch das ausgedrückt hier und dann müssen wir hinten natürlich

noch über d Lambda n integrieren.

Und das ist dasselbe, wie werden wir über r hoch m jetzt im zweiten Teil integrieren

und jetzt ersetzen wir den roten durch das Integral über r hoch n Indikatorfunktion

e y d Lambda n, das ist jetzt der rote und dann hinten nochmal d Lambda m.

Das heißt, wir haben gesehen durch das Prinzip von Cavalieri haben wir schon so eine Art

Doppelintegral bekommen, nur mit Indikatorfunktionen und genau um diese Doppelintegrale geht es

heute und das ist nicht nur für Indikatorfunktionen gilt, sondern für messbare Funktionen auch

ganz allgemein mit speziellen Eigenschaften noch, ist eigentlich klar mit dieser Überlegung

und es gibt uns dann nämlich auch gleich den Satz von Tonelli, der nämlich sagt,

dass wir so Doppelintegrale so berechnen dürfen.

Gut, das war die Vorüberlegung, kommen wir zum Satz.

Satz von Tonelli, die Voraussetzung ist es sei f von r hoch n plus m nach und jetzt wird

es wichtig, beim Satz von Tonelli fordern wir zunächst, dass die Funktionen nicht negativ

sind, heißt 0 bis unendlich.

Wir machen das später auch noch für beliebige, also auch Funktionen mit wechselndem Vorzeichen,