Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Das können Verschiebungsrandbedingungen sein, das wären für die Diricle-Randbedingungen

oder Spannungsrandbedingungen, die man auch als Neumannrandbedingungen bezeichnet.

Wenn man jetzt diese Differentialgleichung mit den gegebenen Randbedingungen lösen möchte,

auf einem beliebigen Gebiet, Omega, das steht für das zwei-, drei-, eindimensionale Gebiet,

was immer man hat, dann wird man sich schwer tun, eine Lösung zu finden.

Die Idee ist es jetzt, eine Nährungslösung zu suchen vor dem Hintergrund,

diese Überlegung hier, dass ich die Differentialgleichung oder auch die Randbedingungen

zunächst einmal mit irgendeiner beliebigen Funktion multiplizieren kann jeweils

und dann darüber integrieren kann.

Wenn die Differentialgleichung erfüllt ist, ist das Null hier, die Randbedingungen sind erfüllt,

ist das Null und auch die Randbedingung erfüllt ist Null, dann kann ich diese Null mit irgendwas multiplizieren

und darüber integrieren und es ist immer noch Null, passiert nichts, mit beliebigen Funktionen.

Umgekehrt kann ich jetzt behaupten, wenn dieses Integral Null ist für irgendeine Funktion V

und diese Integrale jeweils für beliebige Gamma-, Ws, Entschuldigung, hier W Gamma und W Omega erfüllt sind,

dann muss V eine Lösung sein. Wenn das für beliebige Ws gilt, dann kann das nur Null sein,

wenn jeweils dieses Funktional F, Su oder St verschwindet.

Problem ist halt jetzt, man kann nicht zeigen, dass dieses Integralfühlungen für eine beliebige Funktion

oder für alle beliebigen Funktionen W Null sind. Wie will man das machen?

Man kann nicht alle existierenden Funktionenräume oder alle, die man kennt, untersuchen.

Stattdessen beschränkt man sich auf einen bestimmten Ansatz.

Das heißt, man macht für die unbekannte Funktion einen Ansatz und setzt auch nur bestimmte Wichtungsfunktionen ein.

Wenn ich jetzt den Ansatz einsetze in mein Funktional für die Differentialengleichung oder in die Randbedingungen,

dann muss der Ansatz nicht unbedingt die Differentialengleichung oder die Randbedingung erfüllen.

Das ist eine Nährungslösung zunächst einmal.

Wenn ich eine Nährung einsetze, dann muss das nicht exakt erfüllt sein, sondern es bleibt ein kleiner Fehler, ein Residuum, wie man sagt.

Dieses Residuum hängt jetzt aber ab von diesen Parametern meines Ansatzes.

Ziel muss es jetzt sein, die Parameter so zu bestimmen, dass dieser Fehler, dieses Residuum möglichst klein ist.

Im Idealfall habe ich das auf Null gedrückt. Wenn ich das auf Null gedrückt habe, habe ich die exakte Lösung offensichtlich gefunden.

Jetzt ist die Frage, wie mache ich das?

Hier kommt dieses gewichtete Residuum zum Tragen. Ich setze den Ansatz ein, multipliziere das jeweils

mit Wichtungsfunktionen und summiere das auf und fordere, dass das gleich Null sein muss.

Jetzt kann ich genau so viele Wichtungsfunktionen W hier wählen, wie ich unbekannte Parameter C habe

und bekomme dann entsprechend viele solche Gleichungen. Für jede Wichtungsfunktion hier eine Gleichung,

aus der ich dann zum Schluss meinen C bestimmen kann. So weit waren wir am Freitag gekommen.

Jetzt ist natürlich die Frage, was wähle ich als Ansatz und was wähle ich als Wichtungsfunktion?

Darüber haben wir noch gar nicht geredet. Man hat verschiedene Möglichkeiten.

Fangen wir an mit den Ansatzfunktionen. Ich kann Ansatzfunktionen zunächst einmal versuchen zu finden,

die meine Differentialgleichung erfüllen, aber nicht die Randbedingungen.

Oder hier eine, die die Randbedingungen erfüllt, aber nicht die Differentialgleichung.

Oder ich weiß gar nichts, ich habe weder die Differentialgleichung noch die Randbedingungen erfüllt.

Jetzt gibt es die Variante 1. Ich habe eine Methode, die erfüllt die Randbedingungen,

aber nicht die Differentialgleichung. Dann bleibt nur dieses erste Integral stehen.

Die Randbedingungen sind exakt erfüllt, das heißt das Residuum auf dem Verschiebungsrand

und das Residuum auf dem Spannungsrand sind exakt Null, dann sind die beiden Integrale auch Null.

Es bleibt bloß dieses Gebietsintegral übrig. Darum nennt man dieses auch eine Gebietsmethode.

Umgekehrt könnte ich eine Ansatzfunktion wählen, bei der die Ansatzfunktion die Differentialgleichung erfüllt,

aber nicht die Randbedingungen. Dann ist dieser Term Null und die beiden bleiben übrig.

Dann habe ich zwei Randintegrale hier stehen. Das ist dann eine sogenannte Randmethode.

Oder ich habe hier, ich kümmere mich weder um das eine noch um das andere, ich setze irgendwas ein