Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben in der Herleitung der Methode der gewichteten Residue,

bzw. des Gajorken-Verfahrens für die 3D-Elastostatik.

Das will ich jetzt doch einmal komplett machen.

Also das Residuum für 3D-Elastostatik.

Dazu muss man jetzt sozusagen die Gleichgewichtsbedingungen hernehmen.

Das war Divergenz des Spannungstensors plus die Volumenkräfte sind gleich Null im Volumen.

Dann haben wir den Spannungsrand oder Neumannrand.

Auf dem gilt, dass die gegebenen Randspannungen gleich den Spannungen aus dem Inneren sind.

Und das kann ich so hinschreiben.

Auf ST, dem Spannungsrand, und auf dem vergebenden Verschiebungsrand, also dem Irriglierand,

gilt, dass die gegebenen Verschiebungen gleich den berechneten Verschiebungen sein sollen.

Auf S, M.

Das sind sozusagen die drei Gleichungen, die wir haben.

Die Differential-Gleichung und die beiden Randbedingungen.

Es gilt das Stoffgesetz.

Sigma ist gleich C. Kann ich also einen vierstufigen Tensor schreiben.

Kann ich nachher auch als Matrix-Schreibweise bringen.

Und die Verzerrungsrelation in dieser Form.

Wenn ich hier oben für die Spannung sozusagen in Gedanken das Stoffgesetz einsetze und für die Verschiebungs-Verzerrungsrelation,

dann ist sozusagen hier das Sigma, die Spannung, eine Funktion der Verschiebung.

Und ich habe alles in unbekannten Verschiebungen formuliert.

Das heißt, das Feld, das ich suche, die unbekannte Größe, ist das Verschiebungsfeld.

Weil ich das hier voraussetze.

So, jetzt will ich gewichtetes Residuum machen.

Das heißt, U ist das unbekannte Verschiebungsfeld.

Das ist das, was ich suche.

Und das Residuum sagt jetzt, ich mache einen Ansatz für das U zunächst einmal.

Ein U-Tilde, so dass die Dirichlet-Bedingung, also die Verschiebungsrandbedingung, durch den Ansatz exakt erfüllt wird.

Also der Ansatz soll tatsächlich dieses U quer liefern.

Also ich wähle einen Ansatz so, dass die Verschiebungsrandbedingungen exakt erfüllt sind.

Das heißt, da mache ich keinen Fehler.

Das war ja die Idee dieses Gajorkin-Verfahrens.

Und dazu gehörte auch, dass ich, finde ich, jetzt gleich die Wichtungsfunktion einführe.

Die hatten wir W genannt.

Da mussten wir fordern für das Gajorkin-Verfahren, dass das W null ist auf dem Verschiebungsrand.

Also wir hatten gesagt, die Ansatzfunktion sollen die inhumogenen Dirichlet-Bedingungen erfüllen und die Wichtungsfunktion die homogenen.

So, jetzt kann ich das gewichtete Residuum hinschreiben.

Das heißt, ich nehme meine Differentialgleichung, also hier Divergent Sigma plus B, wichte die.

Das heißt, ich multipliziere sie, hier Skalar mit der Wichtungsfunktion, und integriere darüber über das Volumen, dort wo sie definiert ist.

Das war das gewichtete Residuum.

Denn wenn ich meinen Ansatz U tilde hier einsetze, also über Epsilon tilde und dann ein Sigma tilde sozusagen bekomme,

dann kann ich nicht unbedingt erwarten, dass diese Differentialgleichung exakt erfüllt wird.

Hier ergibt sich womöglich ein kleiner Fehler.

Das ist dieses Residuum, und das multipliziere ich halt mit der Wichtungsfunktion.

Dazu kommt jetzt noch ein Fehlerterm oder Residuum auf dem Rand, und zwar nur auf dem Spannungsrand,

also dieses T quer minus N mal Sigma mal W wird über die Fläche auf dem Spannungsrand integriert.

Ein Fehlerterm aus der Dirichlet-Bedingung gibt es nicht, da ich ja verlange, dass das hier U tilde exakt die Bedingung erfüllt.

Also gibt es da kein Residuum, ist also gleich Null.