Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, schön, dass noch ein paar gekommen sind. Wir haben beim letzten Mal

uns den schubweichen Balken angeschaut, also das PDVV und dann auch die Matrixform dazu

hergeleitet, so wie es da steht. Und ich hatte schon angedeutet, dass man für diesen Stab oder

Balken die Stabansatzfunktionen benutzen kann. Es reichen 10 stetige Ansatzfunktionen aus,

da hier als Ableitung nur das W-Strich bzw. das Better-Strich auftaucht. Das heißt,

ich habe erste Ableitung, damit reichen 10 null stetige Ansatzfunktionen aus. So wie das aussieht,

könnte ich also die Stabansatzfunktionen benutzen, also einen bilinearen Ansatz machen,

also für W und für Better jeweils einen linearen Ansatz und werde feststellen,

dass das schief geht. Dieser Effekt, dass das schief geht, dass also das Verschiebungsfeld

viel zu klein ist, also dass die Verschiebungen viel zu klein sind, der Balken viel zu steif reagiert,

nennt man Schierlocking, Schubversteifung im Deutschen. Und das wollen wir uns heute mal

anschauen, woran das liegt. Dazu betrachten wir die Formänderungsenergie, die in so einem Balken

steckt und die Formänderungsenergie, das kennen Sie vielleicht aus der technischen Mechanik noch,

als wir den Castellano betrachtet haben, ist ein halb Moment mal die Krümmung, das ist aber hier

Better Strich dx, plus ein halb Q, die Querkraft, die an den Schubverzerrungen arbeitet und die

Schubverzerrung ist hier das Better plus das W Strich. Beim Bernoulli Balken stand hier W2

gestrichen und dieser Term war nicht existent, da man beim Bernoulli Balken ja Better gleich

minus W Strich erzwungen hat sozusagen, dann war das hier immer null die Schubverzerrung und damit

war der Balken halt schubstar, wie er heißt. Ja, dann gab es nur diesen Biegeanteil. Wenn ich

das die kinematischen Beziehungen für Better Strich einsetze, hier und W Strich und dann die

entsprechenden Stoffgesetze, dann bekomme ich diesen Ausdruck. Das ist wie beim Castellano hier das

M² durch Ei plus Q² durch Ga mit dem Vorfaktor ein halb. Beim Schubstarrnbalken hat man den

Anteil nachträglich künstlich eingeführt, aber hatten auch immer gesagt, dass man die Querkraftanteil,

die Schubanteile am Castellano an der Arbeit oder an der Energie vernachlässigen kann. Beim

Schubstarrnbalken, langen, schlanken Balken ist der so klein, dass ich den vernachlässigen kann. Beim

Schubweichenbalken, hier Timoschenko Theorie schleppe ich das mit, also gibt es noch diesen

zusätzlichen Term und der wird auch eine wichtige Rolle nachher spielen. So jetzt betrachten wir den

Fall einer reinen Momentenlast. Moment M von x soll M0 sei konstant und da die Querkraft,

die Ableitung des Momentes ist, dann ist das hier Null und es bleibt tatsächlich nur dieser Term

hier übrig. M ist konstant, kann nicht rausziehen, Ei ist konstant, kann nicht rausziehen und bleibt

das Integral 0 bis L dx übrig. Das ist einfach das L hier. Das heißt, ich betrachte dieses Beispiel,

also einen Balken, jetzt wirklich so ausgedehnt gezeichnet, mit jeweils einem Moment am Ende,

dann ist das Schnittmoment konstant, die Querkraft ist Null. Den diskritisieren wir jetzt in einzelne

Elemente, also hier angedeutet in so vier Balkenelemente sollen das sein, keine Scheiben,

sondern hier Balkenelemente, aber die Querschnittlinien sind hier angedeutet und wenn ich mir jetzt ein

einzelnes Element hier rausziehe, dann verformt sich das im Prinzip so wie hier unten. Das hatten wir

auch die Überlegung, als wir die Balkentheorie hergeleitet haben in der technischen Mechanik,

hatten wir gesagt unter einem reinen Endmoment, konstantes Moment, kann der Balken sich nur

aus Symmetriegründen in einen Kreisbogen verformen. Das Moment ist überall gleich,

damit ist die Verformung, die Verzerrungen sind überall gleich, kann bloß ein Kreisbogen

herauskommen. Das gleiche Argument ist hier auch, abgesehen von Starkörperverschiebung und Drehung,

die die einzelnen Elemente hier machen, damit ich die in so einer Kette hier zusammenhängen kann,

verformt sich jedes Element gleich und zwar in dieser Art und Weise. Ich habe hier die

Mittellinie und die beiden Querschnitte verdrehen sich halt hier gegeneinander und da das konstant

ist das Moment, die Querkraft ist Null, kann ich das so aufschreiben, dass ich links und rechts

hier jeweils den gleichen Winkel habe. Also die beiden Querschnitte neigen sich so nach innen und

dann kann ich das aneinander hängen, die einzelnen Elemente und bekomme damit halt diesen

Kreisbogen genähert, in den sich dieser Balken eigentlich verformt. Das ist also die Verformungsfigur

und die einzige Möglichkeit, mit der dieser Balken, der ja nur einen linearen Ansatz in W