Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, schönen guten Morgen, herzlich willkommen zur Finite Elemente Vorlesung.

Wir hatten beim letzten Mal uns um die Grundgleichung der Continuum-Mechanik gekümmert

und es sind nicht mehr so sehr viele da, also es sind statt abgenommen. Ich hoffe, ich habe nicht zu viele verschreckt mit diesen ganzen theoretischen Darstellungen.

Wir wollen das heute auch gleich nochmal machen, aber sehr viel menschenfreundlicher.

Das heißt, es wird jetzt diese Continuum-Mechanische Beschreibung, also Verzerrungs-Verschiebungsrelation, Stoffgesetz, Gleichgewichts- bzw. Impulsbilanz,

nochmal hingeschrieben, aber in einer Matrix-Formulierung und nicht in dieser Tensornotation.

Und das ist das, was man nachher eigentlich auch brauchen wird.

Das ist der Abschnitt 3.3, im Skript überschrieben mit speziellen Formulierungen der Strukturmechanik,

weil wir heute nochmal uns den Balken anschauen wollen.

Den kann man nachher auch noch in dieses Schema pressen.

Aber wir fangen an mit 3.3.1 mit dem Continuum, also dem ganz normalen dreidimensionalen Körper.

Das heißt, wir werden jetzt übergehen hier für die Numerik.

Wir wollen das ja später irgendwie dem Computer beibringen im Rahmen der Finite-Element-Methode.

Ist das halt günstiger auf eine Matrix-Formulierung überzugehen und das wollen wir jetzt im Folgenden

mal machen.

Wir fangen an mit der Kinematik.

Und wir hatten hier beim letzten Mal die Verzerrungstensor uns angeschaut.

Das war ja irgendwie Epsilon ist ein halb Gradient u plus Gradient u transponiert.

Also die ist ein halb ui,j plus uj,i.

Wenn ich das in dieser Index-Schreibweise hinschreibe, daraus sieht man, oder wenn sich vielleicht

an die TM2 noch erinnern, dass dieser Tensor symmetrisch ist.

Also das ist ja so eine Dreikreuz-Dreimatrix, dieser als Tensor, Epsilon xx, Epsilon xy,

Epsilon xz bis Epsilon zz in so einer Dreikreuz-Dreimatrix angeordnet.

Aber der Tensor ist symmetrisch.

Das heißt von den neun Einträgen dieser Dreikreuz-Dreimatrix sind bloß sechs unabhängige.

So und diese Einträge schreibt man jetzt um und zwar nicht als Matrix, sondern ich fasse

diese sechs unabhängigen Einträge in einer Spaltenmatrix zusammen.

Das heißt ich führe ein Art Epsilon-Vektor und da fasse ich zusammen Epsilon xx, Epsilon

yy, Epsilon zz und hier die Scherung oder Gleitung Gamma xy, Gamma yz, Gamma zx.

Und das soll aber eine eigene Spaltenmatrix sein, sodass ich hier irgendwo da das transponiert

hinschreibe.

Also dieses Epsilon ist dieser Ausdruck transponiert, also als Spalte, aber das kriege ich jetzt

nicht auf die Tafel.

Die Gammas, das erinnert man sich vielleicht auch noch, mit Gamma xy ist Epsilon xy plus

Epsilon yx.

Also die symmetrischen Terme fasst man zusammen.

Messtechnisch, wenn ich jetzt einen Versuch machen würde, kann ich diese beiden Anteile

nicht voneinander trennen.

Das was man misst in einem Versuch ist ohnehin immer nur die Summe, also nur dieses Gamma

und das ist zwar das was mathematisch sozusagen aus der Definition rauskommt.

Messen kann man ohnehin nur die Summe dieser beiden Verzerrungen und man kann die nicht

messtechnisch irgendwie trennen, sodass man auch jetzt aus praktischen Überlegungen die

beiden zusammen fasst zu dem Gamma.

Hier und natürlich ganz analog, Gamma yz ist gleich Epsilon yz plus Epsilon zy und Gamma

zx ist Epsilon zx plus Epsilon xz.

Per Definition sind die ja auch identisch, weil der Tensor ja symmetrisch war, aber so

ist es gemeint.

Die Anordnung ist mehr oder weniger willkürlich und es ist einfach Konvention und üblich,

die Diagonalelemente des Tensors hier als erste einzufüllen in diesen Vektor xx, yy,