Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herzlichen Dank, dass Sie wieder gekommen sind. Ich hoffe wohl gespeist zu haben.

Vielleicht hatten Sie auch einen Kaffee, um jetzt das einigermaßen wach zu überleben.

Okay, wir sind im Kapitel Frequenzmodulation angekommen, wir haben festgestellt,

wir können einer Cosinusschwingung eine wechselnde Momentanfrequenz verleihen.

Und wenn wir diese Momentanfrequenz proportional zum Quellensignal machen, dann haben wir Frequenzmodulation erreicht.

Die Momentanfrequenz ist definiert als die Ableitung der Phase, also des Arguments in einer Cosinusschwingung nach der Zeit,

wobei wir noch die Trägerfrequenz abziehen, sodass es eigentlich die Abweichung der Momentanfrequenz von der Trägerfrequenz ist.

Wenn man es aber dann bezüglich des äquivalenten komplexen Basisbandsignals versteht, dann ist es die Momentanfrequenz.

Das ist dann positiv und negativ, das heißt im äquivalenten komplexen Basisbandsignal ist meine Cosinusschwingung ein drehender Zeiger geworden.

Und wenn ich die Transformation bezüglich der Trägerfrequenz mache, dann steht im Mittel der Zeiger.

Und wenn die Momentanfrequenz zu hoch ist, also positiv ist, höher wird die Trägerfrequenz, dann dreht er im mathematisch-positiven Sinne vorwärts.

Und wenn das Quellensignal negativ ist, dann dreht der Zeiger rückwärts.

Und darum haben wir die Momentanfrequenz gleich so definiert, dass es bezüglich des äquivalenten komplexen Basisbandsignals gilt,

bezüglich des hochfrequenden Signals, muss man sagen, die Momentanfrequenzabweichung.

Wenn man also das Quellensignal über die Proportionalitätskonstante Delta f, dem Frequenzhub, auf die Ableitung der Phase abbilden,

dann müssen wir, wenn wir es auf die Phase abbilden wollen, das Quellensignal integrieren.

Dann müssen wir die Differenzation rückgängig machen, also das machen wir, indem wir hier das Quellensignal integrieren, die Integralfunktion dazu, eine Stammfunktion.

Übrigens, wenn Sie mal hier anschauen, unser Quellensignal ist dimensionslos, wir haben es ja normiert auf dem Maximalwert, dann sind wir also dimensionslos.

Dann haben wir hier eine Frequenz, den Hub, also um wie viel die Momentanfrequenz nach oben und unten ausgelenkt wird,

maximal, wenn das Quellensignal seinen Maximalwert annimmt, dann haben wir also hier die Dimension Herz

und hier haben wir also hier etwas dimensionslos über der Zeit integriert, das gibt also Sekunden und es funktioniert,

dass wieder etwas dimensionslos rauskommt, weil Herz mal Sekunden wieder eins ergibt, sonst könnte man es auch nicht als Argument in die E-Funktion hineinstecken,

weil da braucht man eine dimensionslose Zahl und die Integration im Zeitbereich entspricht ja 1 durch J2pf im Frequenzbereich,

solange wir uns um Anfangsbedingungen nicht kümmern müssen.

Ja und Integration wird halt zeitdiskret in der digitalen Signalverarbeitung durch das einfachste rekreasive System gemacht,

dass man sich denken kann, einfach zu dem, was bisher aufgelaufen ist, den aktuellen Abtastwert dazu addieren,

dann sind wir also an dieser Stelle, dann gehen wir in eine Lookup-Table und schauen nach, was ist der Realteil und der Imaginierteil für diese Phase,

geben Real- und Imaginierteil auf einen QAM-Modulator und haben das FM-Signal.

Historisch hat man das gemacht mit einem Voltage-controlled-Oscillator, das ist also ein Oszillator, dessen Schwingfrequenz durch eine Spannung gesteuert werden kann,

das macht man zum Beispiel so, dass man irgendwo in einer Transisterschaltung, meistens eine Rückkopplungsschaltung, vielleicht,

ich habe es falsch gezeigt, einen Schwingkreis einbaut, damit es also auf einer gewissen Frequenz schwingt

und dann setzt man hier noch eine sogenannte Varactor-Diode rein, eine Diode, die in Sperrrichtung ist,

durch einen Kondensator soll auch kein Strom fließen, soll gesperrt sein, aber eine Varactor-Diode,

das ist also eine Diode, wo die Trennfläche zwischen P und N möglichst groß ausgebildet ist, damit es eine hohe Kapazität in Sperrrichtung kriegt.

Also in Sperrrichtung ist ja die Sperrschicht, die PN-Übergang, Ladungsträger frei, aber die positiven und negativen Ladungsträger schauen sich gegenüber wie bei der Kapazität an.

So, und jetzt schließt man hier an dieser Stelle das Quellensignal an, Q von T plus einen Gleichanteil, damit das immer negativ,

damit es also hier immer positiv ist, sodass das immer in Sperrrichtung bleibt, und wenn das Quellensignal groß wird,

dann werden die Ladungsträger weit voneinander getrennt, dann wird die Raumladungszone, die von Ladungsträgern ausgeräumt,

die Zone wird breit und die Kapazität wird klein, und wenn die Kapazität klein wird, dann wird die Schwingungsfrequenz von einem Schwingkreis größer,

und wenn die Kapazität größer wird, dann wird die Schwingfrequenz kleiner.

Und damit kann man hier mit der Spannung an dieser Stelle so ein bisschen die Schwingfrequenz beeinflussen, und so hat man historisch Frequenzmodulation gemacht.

Wir können es aber vergessen, heute geht es digital.

Und jetzt wollen wir ein bisschen was machen über das FM-Spektrum, das machen wir ganz kurz, eigentlich nur der Vollständigkeit halber,

ist auch ein bisschen eine Wiederholung von bekannten Zeug.

Wir berechnen das FM-Spektrum nur für den speziellen Spezialfall, dass das Quellensignal eine Cosinussschwingung ist.

Das ist, um was zu testen, auszumessen, ganz nett, für den praktischen Betrieb irrelevant, weil wir wollen keinen Cosinuss übertragen,

da kann man sich auf der Empfängersite auch einen Funktionsgenerator hinstellen.

Gut, aber man kann das, also wenn jetzt das Quellensignal eine Cosinussschwingung ist,

dann wird ja unsere momentanen Frequenz periodisch größer gemacht und kleiner gemacht, periodisch größer und kleiner gemacht.