Ja, fangen wir an. Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben beim letzten Mal

ja mit der Fourier-Transformation angefangen. Einmal eine kleine Sache, da ist ein Schreibfehler

auf der Folie und ich glaube auch im Skript, also es ist auch im Skript hier, diese Verschiebung

im Frequenzbereich, Gegenumforschung und Zeitbereich. Hier fehlt ein i in dem e hoch. i 2 pi f0t,

das ist glaube ich auch im Skript falsch an der Stelle. Ich habe das schon im Skript korrigiert,

die Folien ist es eigentlich auch schon korrigiert. Ich habe es gerade versucht runterzuladen von

der V-Box, aber er will sich hier irgendwie nicht verbinden. Also das ist jetzt noch die

alte Version. Wer hat noch eine Korrektur? Können wir noch ein korrigiertes Skript hochschauen,

die machen sich die Markierungen da rein. Aber ich meine, es muss natürlich auch mit

e hoch i sein. Okay, davon mal abgesehen, hatten wir ja, wie gesagt, das als Fourier-Transformation

uns angeschaut und die Voraussetzung war, dass wir ein kontinuierliches Signal hatten, h von

t, das auch absolut integrierbar war, womit periodische Funktionen erstmal ausgeschlossen

sind. Und wir wollen uns anschauen, was mit periodischen Funktionen passiert. Und bevor

wir das machen, schauen wir uns erstmal was anderes an und zwar die Fourier-Transformation

der Dirac-Distribution oder das Dirac-Impulses. Also, gibt es als Dirac-Funktion, es ist eigentlich

keine richtige Funktion, es ist eigentlich eine Distribution und wird häufig mit Delta

von jetzt im Zeitbereich t minus t null beschrieben und hat die Eigenschaft, sie ist null für

t ungleich t null und sie ist unendlich für t gleich t null. Einfach per Definition. Und

das unendlich ist nicht beliebig, sondern es gilt das Integral von t null, was weiß

ich, minus Delta t über t null plus Delta t, also wenn ich sozusagen über den Dirac

Impuls, Delta von t minus t null, dt ist gleich eins. Also das Integral über den Dirac-Impuls,

wenn der Impuls voll im Integrationsgebiet drin liegt, durch diese Distribution und nicht,

dann ist das Integral darüber eins. Wenn man den genau auf der Kante hat oder auf dem

Integrationsrand, dann hat man Schwierigkeiten, dann muss man sich irgendwie Gedanken machen,

mit Grenzübergängen. Das werden wir jetzt auch gleich machen, allerdings nicht, um es

auf dem Rand zu betrachten, sondern aus einem anderen Grund. Und das ist also einfach per

Definition so und der Dirac-Distribution, dafür wird sie halt häufig, hat die sogenannte

Filter-Eigenschaft oder Sieb-Eigenschaft, wenn ich ein Integral habe von irgendeiner

Funktion h von t mal Delta von t minus t null, also ich multipliziere da diese Dirac-Distribution

rein, integriere dann über t und wie gesagt, ich habe hier t null minus, also das integriert

t null plus Delta t, also es muss wieder voll drin liegen, dann filtert mir das hier den

Wert meiner Funktion des Integranten an der Stelle null heraus. Das kann man zeigen und

das werden wir auch ausnutzen jetzt im Folgenden. Wir wollen uns tatsächlich die Fugitransformierte

von diesem Ding anschauen, dazu approximieren wir diese Dirac erstmal und machen dann den

Grenzübergang. Also ich habe jetzt eine Approximation, das hat nämlich genau diese Eigenschaft,

d Epsilon Quadrat plus t Quadrat. Das ist eine Funktion, noch eine richtige Funktion über

t und jetzt an der Stelle t null, ich habe jetzt keine Verschiebung, also t null ist

null, dann ist das irgendeine Funktion, die sieht irgendwie so symmetrisch so aus, hat

hier den Scheitelwert eins durch Pi Epsilon an der Stelle t gleich null, dann habe ich

Epsilon kürzlich das Quadrat raus, also hier der Scheitelwert und irgendwo gibt es hier

ein Epsilon halbe und ein Minus Epsilon halbe, die ist symmetrisch. Tatsächlich ist der Limes

von Epsilon gegen null von diesem Delta Epsilon von t ist genau mein Delta von t. Das heißt,

wenn ich das Epsilon immer kleiner mache, dann zieht sich das hier immer weiter zusammen,

gleichzeitig geht das hoch hier und das Integral darüber sollte eins sein oder in der Definition

jetzt vielleicht auch irgendwie Pi oder so was, also irgendeine Konstante, das ist eine

Formierung, aber ich sollte eigentlich eins rauskommen. Das heißt, ich kriege hier diesen

Dirac Distribution als Grenzübergang einer, das ist ja noch eine richtige Funktion, hier

ja als Grenzübergang gegen Epsilon. Das coole ist jetzt, dass es so konstruiert, dass man

das hier Fourier transformieren kann, analytisch und die Fourier transformierte von diesem

Delta Epsilon, die kann ich hinschreiben, die ist nämlich E hoch Minus Epsilon und dann