Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen zur Statik- und Festigkeitslehre. Wir waren

beim letzten Mal stehen geblieben bei der Bestimmung der Biegellinie und ich möchte

noch einmal diese differenziellen Beziehungen anschreiben und zwar für, galt ja, dass das EI

W2 gestrichen gleich minus M ist. Wenn wir jetzt die Biegung um eine Hauptachse nehmen und zwar um

die Y-Achse, lasse ich die Indizes EI YY ist gleich minus MY weg. MY kann eine Funktion natürlich

von X sein und das W ist natürlich auch eine Funktion von X, der Durchsenkung und EI W3

gestrichen. Die dritte Ableitung ist minus Q von X und EI W4 gestrichen ist plus KleinQ,

die Streckenlast entlang des Balkens in Querrichtung natürlich. Diese Zusammenhänge gelten hier für EI

konstant, ansonsten fehlt die äußere letzte Ableitung über beides jeweils, aber das ist ja

der gängigste Fall und den werden wir im häufigsten jetzt betrachten. So, wir hatten beim letzten Mal

schon zwei Beispiele uns angeschaut, wie man das W ermittelt. Einmal, indem man sich den

Schnittgrößenverlauf vorab bestimmt aus den Gleichgewichtsbedingungen, nämlich indem man für

ein statisch bestimmtes System relativ einfach sich den Biegumentenverlauf aus den Gleichgewichtsbeziehungen

ermittelt, dann hatten wir das einmal gemacht, auch für ein statisch bestimmtes System ausgehend von

dieser Differentialgleichung hier durch viermaliges Hochintegrieren. Das hätte man in dem Beispiel auch

genauso machen können durch Freischneiden, da lohnt es aber nicht, weil man die Resultierende

jeweils des kleinen Qs bestimmen muss, um Q und M zu ermitteln. Wir wollen uns jetzt noch zwei

weitere Beispiele anschauen und nehme ich einmal ein Beispiel, in dem es mehrere Bereiche gibt.

Das ist das dritte Beispiel. Dazu betrachten wir auch ein statisch bestimmtes System, hier ein Balken

auf zwei Stützen und der soll belastet sein durch eine Einzelkraft und zwar hier durch F und zwar

soll die Länge hier 2L und diese Länge L sein, sodass der gesamte Balken 3L lang ist. Damit kennt

man, kann man jetzt durch Freischneiden den Querkraftverlauf und den Momentenverlauf sich

überlegen. Der Querkraftverlauf hat offensichtlich einen Sprung an der Stelle, an der ich diese

Einzelkraft einleite und wenn die Querkraft einen Sprung hat, knickt das Moment oder hat einen

Knick auch eine Unstetigkeitsstelle, sodass ich nicht hier über den gesamten Bereich hinweg

integrieren kann, sondern das Bereichsweise machen muss. Also ich kann nur dort integrieren,

wo diese Funktionen M und Q stetig sind. Wenn es Sprünge oder Knicke hat, muss ich dort den

Bereich unterteilen und die Bereiche separat betrachten. Ich habe also hier einen Bereich

1 und einen Bereich 2. Man berechnet sich jetzt hier in diesem Fall die Auflagerkräfte zunächst

einmal. Dann habe ich hier F und ich habe hier als Auflagergrößen A und B und A ist

bereits angegeben, ist ein Drittel F und B ist gleich zwei Drittel F. Würde man auch

Summe der Momente um A bzw. Summe der Momente um B sofort ermitteln können. Darum geht es

gar nicht, da gehen wir davon aus, dass wir das inzwischen können. Man führt jetzt für

jeden der Bereiche eine neue Koordinate ein, meinetwegen in dieser Form von links nach

rechts X1 und X2 und stellt jetzt Bereichsweise die Gleichung auf, wobei hier in dem einfachen

Fall es wahrscheinlich günstiger ist, so wie im Skript tatsächlich von der obersten Gleichung

auszugehen. Das heißt jetzt einfach das Schnittmoment zu bestimmen. Ich habe ja ein statisch

bestimmtes System, dann habe ich hier irgendwie meinen Schnitt, ich habe meine Kraft hier

A, dafür schreibe ich gleich ein Drittel F. Ich bin nur am Moment interessiert, weil

ich möchte nur die Biegellinie haben, jetzt zeichne ich nur das Moment ein, M1 an der

Stelle X1. So, Summe der Momente, so herum gleich 0 liefert mir M1 minus ein Drittel

F mal X1 und ich bekomme daraus M1 von X ist halt ein Drittel F mal X1 für den Bereich

1. Jetzt kann ich das bereits hoch integrieren, also ich schreibe mir hin EI W1, 2 gestrichen

vom Bereich 1 in X1 ist minus das M1 in dem Bereich, also minus ein Drittel F mal X1.

Das integriert man jetzt 2 mal hoch, das heißt ich habe hier EI W1 Strich von X1 ist minus

ein Sechstel F X1 Quadrat plus eine Integrationskonstante C1 und ich integriere das noch einmal EI W1

von X1 ist minus ein Achtzehntel F mal X1 hoch 3 plus C1 X mit integrieren plus eine

zweite Integrationskonstante C2 für die zweite Integration. Gut, jetzt kann man das analog

mit dem Bereich 2 machen, da habe ich, schneide ich hier durch, ich habe hier die Schnitt

bei X2, also ich mache jetzt wieder von links das positive Schnitt Ufer ein Drittel F, hier wirkt F und hier das M2 in dieser Form und man bekommt und diese Strecke ist natürlich hier auch bekannt,