Meine Damen und Herren, wir waren beim letzten Mal stehen geblieben bei den Energiemethoden

der Elastostatik und hatten uns angeschaut, als letztes die Formänderungsenergie, insbesondere

die spezifische Formänderungsenergie.

Und die schreibe ich noch mal hin.

Man konnte für einen allgemeinen dreidimensionalen Spannungszustand diese Formänderungsenergie

folgendermaßen hinschreiben.

Also diese Spur des Spannungstensors hier minus eins durch zwei g, diese gemischten

Terme XX plus eins durch zwei g und die Schubspannung hier zum Quadrat, so in dieser Form.

Und das ist natürlich eine ziemlich lange hässliche Formel.

Man kann die gesamte Formänderungsgier dann erhalten, indem man diese spezifische Formänderungsenergie

über das Volumen integriert und das im ganz allgemeinen Fall zu berechnen, zu bestimmen,

ist natürlich extrem aufwendig.

Aber für die Bauteile, die wir uns bisher angeschaut haben, nämlich diese eindimensionalen

schlanken Bauteile, also Stäbe bzw. Balken auf Zug, Druck, Biegung und Torsion, kann

man ganz schön hier weiterverarbeiten, da von diesen ganzen Spannungskomponenten die

meisten halt dort verschwinden.

Wenn ich einen Stab auf Zug und Druck habe, gibt es halt bloß das Sigma XX in diesem Stab

und dieser obere Term vereinfacht sich halt dramatisch, weil nicht viel übrig bleibt.

Und genau das wollen wir uns jetzt im nächsten Abschnitt mal anschauen.

2.52, also wir kochen das wieder runter auf die Formänderungsenergie eines Balkens und

zwar Zug, Druck wollen wir uns anschauen, also eigentlich den Stab, dann den eigentlichen

Balken, Biegung und Torsionsanteile.

In diesem Fall, wenn ich so ein eindimensionales Bauteil habe, kann ich das Pi, also die gesamte

Formänderungsenergie als das Integral Pi Stern dV auch folgendermaßen schreiben, indem

ich das Integral dV aufteile in ein Integral über die Länge und ein Integral über den

Querschnitt.

Und dann bekomme ich hier Pi Stern, also man integriert erst einmal über einen Querschnitt

und dann die ganzen Querschnitte über die Länge auf, sodass ich das dV als dA mal dX

darstellen kann, dann kann ich das in zwei hintereinander geschalteten Integrationsschritten

erledigen.

So, und jetzt kann man sich die einzelnen Fälle anschauen und wir fangen mal mit dem

einfachsten an, Zug und Druck.

Da habe ich bloß das Sigma XX, bzw. abgehört Sigma X, ist N durch A, ist die einzige Spannungskomponente,

die dann in dem Stab existiert.

So, und damit vereinfacht sich natürlich da oben dieses Pi Stern.

Ich kann das Pi, also da schon als das Integral über L, oder das Integral über A, und ich

habe hier Sigma X Quadrat durch 2e, also da diesen ersten Ausdruck, und alle anderen

Terme sind Null.

Sigma Y und Y, Sigma ZZ, das fällt alles weg, sodass das hier doch wieder ein relativ

übersichtlicher Ausdruck ist.

Da bleibt also bloß dieser eine Term übrig.

Für das Sigma Quadrat setze ich jetzt das hier ein, und dabei kann man schon berücksichtigen,

dass das von der Querschnittsfläche ja unabhängig ist, das E ziehe ich auch raus, A Quadrat,

und hier bleibt einfach bloß das Integral dA dx übrig.

Das Integral dA ist einfach die Fläche, sodass man hier auch schreiben kann, ist gleich offensichtlich

das Integral über L, N Quadrat durch 2e mal A dx natürlich.

Das ist also das Pi hier, das für den Zugdruck stark übrig bleibt, das ist die Formänderungsenergie,

die in einem Stab gespeichert wird, der mit einer Normalkraft N hier belastet ist, N Quadrat

durch 2eA, und das halt integriert über X, weil das N natürlich von X abhängen kann,

und auch das E mal A, die Dehnsteifigkeit von X abhängen kann.