Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Heute erfülle ich das Versprechen, dass wir verstehen werden, wie man bei mechanischen Systemen die Zwangsbedingungen unterliegen.

Wie zum Beispiel dieses Doppelpendel. Wie Sie sehen, handelt es sich hier um ein mechanisches System, das besteht aus zwei Teilchen.

Aber diese beiden Teilchen bewegen sich eben nicht frei im absoluten Raum.

Das hatten Sie letztes Mal studiert mit meiner Vertretung, wie die Lagrange-Funktion für zwei freie Teilchen im absoluten Raum bestimmt wird.

Sondern hier fügen wir jetzt Zwangsbedingungen hinzu.

Das heißt, wir zwingen das erste Teilchen in einem konstanten Abstand zu sein anschaulich im absoluten Raum von dem Aufhängepunkt hier.

Das ist natürlich ein Pendel.

Und das zweite Teilchen zwingen wir dann wieder im konstanten Abstand zu sein von diesem anderen Teilchen wieder durch so einen Pendelstab.

Und das ist also diese Position dieser beiden Teilchen, ist eine erlaubte Konfiguration in der Gegenwart dieser Zwangsbedingungen.

Und Sie sehen, eine andere erlaubte Konfiguration ist diese Position der Teilchen.

Aber eine nicht erlaubte Konfiguration wäre zum Beispiel das eine Teilchen hier und das andere Teilchen dort.

Das sind zwar Konfiguration im absoluten Raum, die aber mit diesen beiden Zwangsbedingungen nicht mehr übereinstimmen.

Und heute schauen wir uns an, wie wir das theoretisch abbilden wollen.

Okay, so und jetzt möchte ich aber doch nochmal ganz kurz wiederholen, was wir vorletzte Vorlesung gemacht hatten.

In der vorletzten Vorlesung hatten wir uns ja angeschaut, wie ein Teilchen der Masse M beschrieben werden kann im Lagrange Formalismus.

Und wir hatten ein Teilchen da modelliert, ich nenne die Bahnkurve jetzt mal Sigma, vorher Gamma genannt.

Das ist eine Bahnkurve von Parameterwerten a, b in den absoluten Raum.

Also wenn wir ein Teilchen haben, dann bewegt sich das zunächst mal im absoluten Raum.

Das ist dieses R. Und wir hatten allerdings auch gesehen, dass, ich lasse jetzt hier mal ein klein bisschen Platz.

Wir hatten dazu die hochgehobene Kurve anschauen müssen, nämlich die Kurve im Geschwindigkeitsphasenraum.

Und was war der Geschwindigkeitsphasenraum zum absoluten Raum?

Das war das Tangentialbündel, genau. Das war das Tangentialbündel TR gewesen.

Und das Tangentialbündel, dieser Geschwindigkeitsphasenraum, auf dem war die Lagrange Funktion definiert.

Die Lagrange Funktion eines Systems ist immer definiert auf dem Geschwindigkeitsphasenraum, zudem dem System zugrunde liegenden Raum.

Also hier auf dem TR. Und die Lagrange Funktion ist einfach eine glatte reelle Funktion.

Und damit ist eigentlich auch schon alles gesagt. Und diese Lagrange Funktion hatten wir gesehen, wenn ich die geeignet wähle,

dann kodiert die bereits die gesamte Dynamik des Systems. Und wenn ich mir dann diesen Weg hier anschaue,

dann ist das, also ich könnte das x Sigma auch hier drüber schreiben. Und das Sigma hier drüber, das ist diese Kurve.

Wenn ich mir jetzt diesen ganzen Weg anschaue, dann ist das natürlich L nach x Sigma.

Und in der Tat hatten wir die Wirkung einer Kurve definiert, S von Sigma.

Das war das Integral von a bis b. Das korrespondiert zu diesen Parameterwerten dT L nach x Sigma an der Stelle t.

Und wir hatten gefunden, dass die stationären Punkte, die stationären Kurven, das heißt die Kurven,

die dieses Wirkungsfunktional stationär machen, dass das die Kurven sind, denen das Teilchen nach dem Newton-Aktion folgt.

Und wir hatten das hingeschrieben, wir hatten das Kriterium der Euler-Lagrange Gleichungen,

hatten wir hergeleitet aus unserer Variationsdefinition, Euler-Lagrange Gleichungen.

Und um die hinzuschreiben, hatten wir hier ein Koordinatensystem eingeführt.

Also das ist ganz, das ist in der wahren Welt, das hat mit Koordinaten nichts zu tun, diese ganze Konstruktion.

Und auch die Tatsache, dass die Stationaritätsbedingungen auf diese Wirkung, die Bewegungsgleichungen ergibt.

Wir haben keine Karten benutzt, können Sie also jedes beliebige Koordinatensystem verwenden.

Aber um das konkret auszurechnen, wollen wir natürlich immer in eine Karte gehen.

Also gehen wir hier in eine Karte, nennen wir mal hier eine Karte V.

Und wenn wir eine Karte im absoluten Raum haben, können wir natürlich auch Koordinaten X finden.

Und dann gehen wir hier in einen d-dimensionalen absoluten Raum.

Und wenn wir diese Koordinaten einführen, hatten wir auf dem Tangentialbündel Koordinaten Xi aus diesen Koordinaten X konstruiert,

wenn Sie sich erinnern. Und bezüglich dieser Koordinaten Xi konnten wir dann die Euler Lagrange Gleichung hinschreiben.

Also die X sind Koordinaten auf dem absoluten Raum.

Die Xi X sind daraus konstruierte Koordinaten auf dem Geschwindigkeitsphasenraum.

Und wir hatten hier die D plus a der Ableitung, D ist aber die Dimension des absoluten Raumes.

Dann hatten wir hier das ausgewertet bei X, ah Entschuldigung, ich hatte, Moment, wie war das?