Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, hallo, guten Morgen allerseits.

Wir schauen uns gerade an Wärmestrahlung oder auch thermische Schwingungen in einem Kristallgitter, weil das so ähnlich ist.

Das heißt, was wir beantworten wollen, sind zu Fragen wie, welche Farben strahlt die Sonne ab?

Oder welche Farben würde man in einem Ofen sehen, wenn man den richtig stark aufheizt?

Und die Grundidee bei all dem ist, man hat eigentlich ein Wellenfeld, zum Beispiel elektromagnetische Wellen oder die Schallwellen in einem Kristallgitter.

Und die Frage ist, wie so ein Wellenfeld im thermischen Gleichgewicht wirklich aussieht, bei welchen Wellenlängen besonders viel Energie ist, bei welchen Wellenlängen weniger Energie ist.

Und die Grundidee hatte ich das letzte Mal erklärt. Im Wesentlichen ist es eine große Ansammlung von harmonischen Oszillatoren.

Das heißt, was wir hier haben, ist, wenn wir das als Hamilton-Operator hinschreiben, eine Summe über viele harmonische Oszillatoren.

Und jeder davon hat die Art von Hamilton-Operator, die wir schon für einen Einzelnen kennengelernt haben und auch behandelt haben.

Nk ist die Anzahl der Anregungen, das ist eine ganze Zahl, 0, 1, 2, 3 und so weiter.

Und wir haben schon gelernt, wie man das mittlere Nk ausrechnet, das ist die Bose-Einstein-Verteilung oder die Bose-Verteilung in dem Fall.

Und diese Omega-k sind die Frequenzen von unseren Normalschwingungsmoden.

In jedem Molekül, wenn es mechanisch schwingt, hat man eine gewisse Anzahl von Normalschwingungsmoden, die man im Prinzip ausrechnen kann.

Genauso in einem Kristallgitter und genauso im elektromagnetischen Wellenfeld.

Und was wir dann aber machen müssen, um hiermit weiterzukommen, um zum Beispiel die Gesamtenergie auszurechnen,

ist, wir müssen lernen, diese Normalmoden abzuzählen.

Und das ist jetzt nicht so schwierig, man muss sich nur daran erinnern, wenn ich wirklich ein System habe,

was Translationsinvariante ist und ich habe irgendeine Wellengleichung, dann sind die Lösungen immer eben eine Wellen.

Und um es uns einfach zu machen, haben wir angenommen periodische Randbedingungen,

das heißt, wenn eine Welle rechts rausläuft, kommt sie sozusagen von links wieder rein.

Das hat den Vorteil, dass dann die Ränder nicht irgendwie ausgezeichnet sind und ich deswegen wirklich mit ebenen Wellen durchkomme.

Und die ebenen Wellen sind ja einfach genug, E hoch IKR.

Und die einzige Frage ist dann noch, welche Werte von K sind erlaubt.

Und wir hatten das letzte Mal gesehen, aha, wenn man periodische Randbedingungen verlangt,

dann sind die erlaubten Werte von K auf einem Gitter.

Und wir können auch genau angeben, was ist der Abstand in diesem Gitter von einem erlaubten K-Wert zum nächsten?

Das ist 2 Pi durch L, wenn L die Größe von diesem Kasten ist, dem gedachten Kasten, in dem die Wellen sich bewegen.

Das heißt, wenn ich einen immer größeren und größeren Kasten nehme, dann wird das Raster immer kleiner.

Und dann hatten wir uns gefragt, wie viele mögliche Frequenzen gibt es denn zum Beispiel in irgendeinem Frequenzintervall?

Das war die sogenannte Zustandsdichte, die Anzahl der erlaubten Omega-K in einem Frequenzintervall,

dividiert durch die Breite von dem Frequenzintervall.

Wenn das Intervall größer ist, sind natürlich auch mehr drin, aber das ist die Zustandsdichte, Frequenzen pro Intervall.

Und wir hatten dann gelernt, das auszurechnen, indem wir uns einfach gefragt haben, wenn der Zusammenhang zwischen Omega und K einfach ist,

und das ist zum Beispiel bei den elektromagnetischen Wellen der Fall, Omega ist C, die Lichtgeschwindigkeit mal Betrag K, was können wir dann sagen?

Und wir können zum Beispiel ausrechnen, wie viele Zustände in diesem Raster, wie viele Rasterpunkte sind innerhalb solch eines Kreises oder im dreidimensionalen Gedacht einer Kugel?

Und damit haben wir dann gelernt, wie viele Zustände haben eine Frequenz unterhalb der Frequenz, die eben zu dem Radius von der Kugel gehört.

Und dann haben wir nochmal differenziert und dann haben wir schon dastehen gehabt, die Zustandsdichte in dem Fall.

Nun bevor ich weitermache und das ein bisschen auswerte für das Wärmestrahlungsfeld, will ich auf eine andere Frage eingehen,

nämlich wie kommt es überhaupt, dass das Wärmestrahlungsfeld oder irgendein anderes Wellenfeld ins Gleichgewicht gelangt?

Und die Frage ist vom Konzept her genau dieselbe, die wir ganz am Anfang der Vorlesung gestellt haben, für das Gas.

Wenn ich ein Gas von Teilchen habe und würde die Wechselwirkung nicht berücksichtigen, sodass sie niemals stoßen können, dann kann sie auch niemals Energie übertragen.

Und wenn dann einige eine hohe Energie haben und die anderen sind in Ruhe, dann wird sich das niemals ändern, das heißt wir kommen nicht ins Gleichgewicht.

Das heißt die Stöße, die Wechselwirkung war sehr wichtig, zumindest um ins Gleichgewicht zu gelangen.

Und genau dasselbe gilt für das Wellenfeld. Was ist die Entsprechung für das ideale Gas beim Wellenfeld?

Also wenn wir ans ideale Gas denken, denken wir an etwas, was im Grenzfall ohne Wechselwirkung existiert.

Die Entsprechung ist das Wellenfeld mit einer linearen Wellengleichung.

Und tatsächlich, wenn wir die Maxwell-Gleichung anschauen, das ist eine lineare Gleichung.

In dem Sinne, wenn ich eine Lösung kenne und ich kenne noch eine andere Lösung und ich addiere sie, dann ist es wieder eine Lösung.

Und das ist ja auch der Witz dabei, diese ebenen Wellen sich dann anzuschauen, das sind Lösungen.