Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade an Phasenübergänge, das heißt Phänomene, bei denen die Wechselwirkung zwischen den verschiedenen Teilen eines Systems tatsächlich eine ganz drastische Rolle spielt.

Und wir hatten uns dafür entschieden, uns die Phasenübergänge anzuschauen, an einem sehr einfachen magnetischen Modell auf dem Gitter, dem sogenannten Easing-Modell. Aber es zeigt sich, dass dann alle, fast alle Aspekte, die man so über Phasenübergänge lernen kann und damit auch alle technischen Schwierigkeiten in der Beschreibung an diesem einfachen Modell schon zu sehen sind.

Das Modell besteht einfach daraus, dass wir uns vorstellen, wir hätten ein Kristallgitter mit Atomen. Auf jedem Atom gibt es einen Spin, sagen wir Spin einhalb, das ist das einfachste, dann gibt es nur zwei Richtungen.

Und das könnte dann zu einem gewissen Zeitpunkt eine typische Konfiguration der Spins auf dem Gitter sein. Und dann müssen wir angeben, was ist die Energie solch einer Konfiguration und auch da wollten wir wieder das einfachstmögliche machen.

Wir wollten sagen, jeder Spinwechsel wirkt nur mit seinen nächsten Nachbarn, in dem Fall im zweidimensionalen Gitter wären das halt vier nächste Nachbarn.

Und wir wollten das so ansetzen, dass beispielsweise es bevorzugt ist, wenn die Spins parallel in dieselbe Richtung weisen, das wäre dann die Tendenz zum Pharamagnetismus.

Das heißt, wir müssen für so eine Konfiguration hinschreiben, wie sieht denn die Energie aus, wenn ich all diese Spins kenne, jeder dieser Spins hat die beiden Werte plus oder minus eins, hoch oder runter.

Und die Energie hatten wir so angesetzt, dass wir gesagt haben, wir summieren über alle Plätze L, das hier zum Beispiel wäre solch ein Platz L.

Und zu jedem dieser Plätze summieren wir dann nochmal über all seine Nachbarn. Also I soll ein nächster Nachbar von L sein.

Und dann bilden wir das Produkt einfach aus Sigma L und Sigma I mit dem Hintergedanken, wenn die parallel sind, also plus eins und plus eins oder minus eins und minus eins, dann wird das Produkt was positives geben.

Wenn sie antiparallel sind, wird das Produkt negativ sein. Und dann können wir es so einrichten, dass die Energie möglichst niedrig ist.

Wenn sie alle parallel sind, dann muss ich hier was Negatives davor schreiben.

Und groß J hätte die Einheit einer Energie, das ist die Kopplungskonstante, die sagt mir im Wesentlichen, welche Energie ich vergleichen muss mit der thermischen Energie.

Wenn die thermische Energie sehr viel größer ist als diese Kopplungskonstante, dann kann ich mir schon denken, dass diese Kopplung nicht besonders große Effekte hat und dass die Spins im Wesentlichen doch völlig unabhängig voneinander fluktuieren.

Das war die Energie vom Easing-Modell und wir hatten uns dann angeschaut, was für typische Konfigurationen sich im Laufe der Zeit ergeben im Rahmen von so einer sogenannten Monte Carlo Simulation.

Wo das Ziel einfach nur ist, mit einem geschickten Algorithmus gerade im Laufe der Zeit Konfigurationen zufällig zu erzeugen, aber derart, dass die Häufigkeit, mit der die verschiedenen Konfigurationen vorkommen, genau der kanonischen Verteilung entspricht.

Sodass wir dann auch korrekt Mittelwerte berechnen können.

In dieser Simulation sahen die typischen Konfigurationen, die wir auf dem Gitter beobachtet haben, so aus, dass es bei endlicher Temperatur durchaus eine gewisse Tendenz dazu gibt, dass die Spins sich parallel ausrichten.

Dass aber oft es nur endlich große Domänen gibt, in denen die Spins parallel sind und dann gibt es wieder Domänen mit der anderen Spin-Richtung. Wenn ich jetzt also beispielsweise schwarz zeichne, die Domänen, wo der Spin nach unten zeigt und weiß, wo der Spin nach oben zeigt, dann waren das so typische Konfigurationen, die wir gesehen hatten.

Diese Domänen sind ständig hin und her fluktuiert und hatten auch eine fluktuierende Größe.

Wir hatten ebenfalls beobachtet, dass wenn man die Temperatur absenkt, die Größe der Domänen weiter zunimmt, weil dann auch die Effekte der Kopplung stärker werden. Das denken wir uns ja schon.

Und es schien dann so, und das wird sich später bestätigen, dass unterhalb einer gewissen kritischen Temperatur eine der Domänen gewinnt und praktisch das gesamte, unter Umständen unendlich große System ausfüllt.

Das können wir natürlich in dem endlichen System nicht genau bestätigen, aber das schien immerhin so.

Und um das quantitativ zu machen, hatten wir uns angeschaut die räumlich gemittelte Magnetisierung. Das heißt, wir hatten gesagt, wir mitteln doch einfach Sigma L über alle Plätze des Gitters.

In groß N war die Anzahl der Plätze in dem Gitter. Und dann war eine typische Kurve, die wir beobachtet hatten im Laufe der Simulation folgende.

Wenn ich nach rechts die Temperatur auftrage und nach oben die räumlich gemittelte Magnetisierung, die zwischen 1 und minus 1 liegt, dann hatten wir gestartet bei hohen Temperaturen.

Und wir hatten gesehen, dass im Laufe der Zeit, in der die Simulation verschiedene Konfigurationen durchläuft, natürlich die Magnetisierung hin und her fluktuiert.

Sie ist aber im Wesentlichen Null, und das liegt halt daran, dass im Wesentlichen ungefähr genauso viele Spins nach oben wie nach unten zeigen.

Fluktuiert ein bisschen, manchmal überwiegt die eine und manchmal die andere Richtung.

Dann hatten wir gemerkt, dass wenn ich die Temperatur absenke, diese Fluktuationen durchaus schon größer werden und übrigens auch langsamer.

Das liegt halt daran, dass dann die Domänen größer sind. Und wenn dann mal eine große Domäne der einen Richtung überwiegt, dann gibt es einen großen Beitrag für die betreffende Spin-Richtung.

Auch die Tatsache, dass es immer langsamer wird, liegt daran, dass die Domänen so groß sind. Und dann müssen ja alle Spins umklappen in die Gegenrichtung, damit die Domäne sich in die Gegenrichtung verwandeln.

Und dann hatten wir gemerkt, dass unterhalb einer gewissen, in dieser Simulation nicht besonders scharf definierten Temperatur eine Domäne dann gewinnt.

Und recht schnell die Situation entsteht, dass fast alle Spins in eine Vorzugsrichtung weisen.

Es gibt noch kleine Fluktuationen da drauf. Durch thermische Fluktuationen weisen doch noch ein paar Spins in die entgegengesetzte Richtung, aber der Effekt ist klein und wird immer kleiner, wenn die Temperatur immer kleiner wird.

Das war ungefähr das Bild, was wir gesehen hatten. Jetzt könnte man dieselbe Simulation noch mal laufen lassen.

Und natürlich, weil es zufällig ist, würde man hier andere Fluktuationen sehen. Qualitativ würde aber alles genauso aussehen.

Und dann könnte es sein, je nach Zufall, dass entweder die Vorzugsrichtung dieselbe ist oder eben auch genau in der entgegengesetzten Richtung.

Das wäre eine andere Trajektorie der Simulation. Und um nun korrekt die Mittelwerte im Rahmen der kanonischen Verteilung zu bekommen, müssten wir ja sehr oft die Simulation laufen lassen und über all diese Versuche mitteln.

Und tatsächlich, was wir da finden würden, wenn wir einfach ganz naiv den Mittelwert im Rahmen der kanonischen Verteilung von Sigma-Quer bilden, ist Null.

Das hatten wir schon gesagt. Das liegt einfach daran, dass das mikroskopische Modell symmetrisch ist in dem Sinne, wenn ich alle Spins umklappe in die Gegenrichtung, dann kommt genau dieselbe Energie raus.

Das heißt, ich nehme eine gewisse Konfiguration, klappe alle Spins in die Gegenrichtung um, die Energie ist dieselbe, also kommt diese andere Konfiguration genauso häufig vor.

Und das bedeutet schlicht und einfach, beide Spin-Richtungen sind gleich wahrscheinlich, auf jedem Platz ist der Mittelwert von Sigma-L gleich Null, dann ist auch der Mittelwert von Sigma-Quer gleich Null.

Das heißt, das wäre sehr langweilig, wenn ich Sigma-Quer im Mittel ausrechne im Rahmen der kanonischen Verteilung, da käme einfach Null heraus.

Und ich würde überhaupt keinen Hinweis bekommen auf das Verhalten, was ich ja in jeder einzelnen Simulation durchaus sehe, dass hier qualitativ was Neues passiert.

Das ist also eine schlechte Größe für diesen Zweck und was ich stattdessen versuchen kann, wäre folgendes. Ich nehme zuerst das Quadrat dieses räumlichen Mittelwertes,

dann bekomme ich Werte, die auf jeden Fall nicht negativ sind und danach mitle ich. Dann bekomme ich zumindest etwas, was nicht Null ist, weil dann hat es keine Chance mehr, sich gegenseitig wegzumitteln.

Und was dann passiert ist Folgendes. Hier unten, wo ich nahe eins bin, ist das Quadrat dann eben auch entsprechend nahe bei eins und damit auch der Mittelwert.

Die Tatsache, dass ich hier Plus und Minus eins habe, geht ja weg durch das Quadrieren.

Und dann würde das so abnehmen und ich zeichne jetzt die Kurve, wie sie sich ergeben würde bei einem endlichen Gitter, wie beispielsweise diesen 50 x 50 Gitter, was ich in der Simulation hatte.