Also mein Name ist Stefan Kessler und ich werde heute die Vorlesung halten. Und ganz am Anfang vielleicht noch was organisatorisches.

Also die Übungsblätter werden jetzt auf die Homepage der Vorlesung gestellt und ihr könnt sie euch da spätestens am Mittwoch, wo die Übungsblätter auch hier ausgeteilt werden, runterladen.

Und auf der selben Seite sind auch dann die Lösungen von den Präsenzübungen und den Hausaufgaben zu finden.

Okay, jetzt was haben wir letzte Vorlesung gemacht? Letzte Vorlesung haben wir uns den harmonischen Oszillator angeguckt.

Und wir haben dann kohärente Zustände eingeführt als Eigenzustände des Absteigeoperators.

Und diese kohärenten Zustände sind deshalb so wichtig, weil sie die quantmechanischen Zustände sind, die am ähnlichsten der klassischen Beschreibung des Lichts ist als einer ebenden Welle mit einer festen Amplitude und einer festen Phase.

Also drum kommen diese Zustände immer wieder vor und sind wichtig.

Und gegen Ende der Vorlesung haben wir dann gesehen, dass die Orts- und Impulsunschärfe eines kohärenten Zustands identisch ist mit der Orts- und Impulsunschärfe eines Grundzustands.

Und das hat dann sozusagen zu der Vermutung geführt, dass ein kohärenter Zustand im Endeffekt eine Verschiebung des Grundzustands ist, des harmonischen Oszillators.

Und das wollen wir heute zeigen, dass diese Vermutung richtig ist. Und um das zu zeigen, fangen wir mit einem X-Kurs über den Verschiebungsoperator an.

Und ganz kurz nochmal, wir hatten den kohärenten Zustand alpha und der wird gerade dadurch charakterisiert, dass wenn wir den Absteigeroperator auf einen kohärenten Zustand wirken lassen,

dann bekommen wir alpha nach all diesem kohärenten Zustand. Also der kohärente Zustand ist ein Eigenzustand des Absteigeroperators.

Und nochmal die Vermutung, die am Ende der letzten Vorlesung war, dass gerade dieser kohärente Zustand ein versteherobener Grundzustand ist.

Okay, und jetzt zu den Verschiebungsoperatoren.

Da wollen wir zuerst den Fall betrachten einer Verschiebung im Ortsraum. Das heißt, wenn ich diesen Operator auf einen Zustand wirken lasse,

dann ist die Wellenfunktion dieses Zustands, gerade die Wellenfunktion des ursprünglichen Zustands um ein Delta X verschoben.

Also unser Ziel ist, einen Operator zu finden, sodass die neue Wellenfunktion gerade die alte Wellenfunktion ist, um ein Delta X verschoben.

Und ich meine, das können wir uns kurz aufmalen, wenn wir hier also die X-Achse haben und das sei jetzt unsere alte Wellenfunktion.

Dann wollen wir, dass unsere neue Wellenfunktion genau die gleiche Form hat, aber um ein Delta X verschoben ist.

Also wir haben eine Verschiebung um Delta X nach rechts.

Okay, was können wir machen? Wir können nun die alte Wellenfunktion in einer Taylor-Reihe um X entwickeln.

Das heißt, wir haben die neue Wellenfunktion, die alte Wellenfunktion an der Stelle X-Delta X.

Und jetzt mache ich hier eine Taylor-Reihe, das heißt, das ist gegeben als die alte Wellenfunktion an der Stelle X minus Delta X von der ersten Ableitung der Wellenfunktion an der Stelle X.

Und jetzt kommt der zweite Termin, das ist dann Delta X² durch 2 Fakultät.

Jetzt haben wir hier die zweite Ableitung von C-Alt nach X an der Stelle X und so weiter und so fort.

Und wenn wir uns das jetzt genauer angucken, dann sehen wir, dass hier haben wir eine 1, hier haben wir ein minus Delta X dx.

Und hier haben wir diesen Termin und das ist nichts anderes als eine Darstellung der Exponentialfunktion.

Das heißt, wir haben hier stehen Exponentialfunktion von minus Delta X dx angewendet auf die alte Wellenfunktion an der Stelle X.

Und was jetzt hier vorne steht, ist unser Verschiebungsoperator.

Okay, was können wir jetzt weitermachen? Jetzt wissen wir, dass diese partielle Ableitung nach X mit dem Impuls zusammenhängt.

Und wir folgern daraus, dass die Verschiebung durch den Impuls generiert wird.

Und wir schreiben also dieses Delta X dx als Delta X ih minus ih Delta X.

Und das ist gerade der Impulsoperator, also habe ich hier Delta X geteilt durch ih quer p. Okay, ich denke, soweit ist es auch mehr oder weniger bekannt.

Jetzt, das war recht allgemein, aber im Endeffekt waren wir ja interessiert an kohärenten Zuständen und harmonischen Oszillator.

Das heißt, wir werden jetzt hier uns speziell den harmonischen Oszillator angucken.

Und da hatten wir in der letzten Vorlesung gesehen, dass im harmonischen Oszillator X und p durch Auf- und Absteigeoperatoren ausgedrückt werden können.

Und das, was jetzt weiterfolgt, ist wirklich für den harmonischen Oszillator.

Aus der letzten Vorlesung hatten wir gefunden, dass der Impulsoperator gerade im Minus i im Omega X zero point fluctuations A-operator minus A-Dagger-operator ist.

Und was wir jetzt machen wollen, ist einfach diese Verschiebung durch die Operatoren A und A-Dagger auszudrücken.

Das heißt, mit dieser Identität bekomme ich Minus Delta X dx ist gerade Delta X m Omega X z p f durch H quer A-Dagger-A.

Und mit der Definition von der Breite des Grundzustands, also diesem X z p f,

das ist gleich H quer durch 2 m Omega, finden wir, dass dieser Term hier gerade 1 geteilt durch 2 X z p f ist.

Und das heißt also, dass dieser Term, der in der Exponentialfunktion steht, dass der gerade Delta X durch 2 m in Nullpunktfluktuation A-Dagger-A ist.

Okay, jetzt sehen wir, das sind zwei Größen, die die Dimension einer Länge haben.

Das heißt, das ist hier eine dimensionslose Größe und die benennen wir jetzt als Alpha.

Wir werden gleich sehen, warum wir das als Alpha benennen.

Erstmal mit Rea im Alpha haben wir Delta X ist gleich zweimal die Nullpunktfluktuation mal Alpha und daraus erhalten wir also, dass Alpha mal A-Dagger-A

die Verschiebung generiert.

Okay, das war jetzt alles noch für eine Verschiebung im Ort, aber im Endeffekt haben wir ja gesehen,

dass bei diesen kohärenten Zuständen ist dieses Alpha eine komplexe Zahl.