So, hallo zusammen. Ich möchte gleich beginnen und weitermachen, fortknüpfen, mit dem, womit wir das letzte Mal abgeschlossen haben.

Im Prinzip haben wir das letzte Mal die rationalen Zahlen eingeführt, haben deren algebraische Struktur untersucht, gesehen, dass das nicht nur ein Ring ist, wie die ganzen Zahlen, sondern sogar ein Körper.

Das heißt insbesondere, dass wir multiplicativ inverse haben. Außerdem haben wir noch die topologische Struktur von Q untersucht, haben gesehen, dass es topologisch interessanter ist als die ganzen Zahlen, da wir nicht so eine diskrete Verteilung haben der Zahlen.

Damit konnten wir auch Dinge wie Konvergenz einführen, Konvergenz von Folgen und Wenns-Werte von Folgen definieren.

Und jetzt würden wir ganz gerne noch uns ein bisschen mehr mit der Dezimaldarstellung befassen.

Also wir möchten jetzt Q ein bisschen besser verstehen bezüglich theatrischen Darstellungen im Allgemeinen.

Also wenn wir die Basis ganz allgemein T größer als 2 wählen, funktioniert das ganz genauso. Aber der Einfachheitsreiber möchten wir uns jetzt hier auf T gleich 10 beschränken.

Und mal sehen, was rationale Zahlen zum Allgemeinen für Dezimalbruchdarstellungen sind.

Ich glaube, die meisten wissen das bereits, dass das entweder endliche Dezimalbruchdarstellungen oder eben auch periodische sind. Aber wir wollen das jetzt genau untersuchen und schauen, ob wir das auch irgendwie ja herleiten können, warum das denn so ist.

Also ja, schauen wir uns mal eine rationale Zahl an, die lässt sich darstellen als eine ganze Zahl m geteilt durch eine natürliche Zahl n. Dann können wir bezüglich den Divisor n, m über Division mit Rest darstellen als ein Vielfaches von n.

l kann jetzt auch 0 sein, wenn m womit rad mehr kleiner ist als n plus ein Rest. Und der Rest ist echt kleiner als n. Das ist wichtig.

Wenn das so ist und wir dividieren ja noch für die rationale Zahl durch n, dann kürzt sich dieses n hier gerade weg und wir können q darstellen als ein l, eine ganze Zahl l plus Rest durch n.

Und da r echt kleiner ist als n, ist diese Zahl hier zwischen 0 und 1. Also r durch n ist zwischen 0 und 1 und das hier ist einfach nur eine ganze Zahl. Im Allgemeinen lassen wir so rationale Zahlen darstellen, das ist eine ganze Zahl.

Das ist die ganze Zahl vor dem Komma plus alles, was hinter dem Komma passiert. Diese Dezimalbruchdarstellungen. Und da wir bereits wissen, wie wir ganze Zahlen als Dezimaldarstellung darstellen,

genügt es, dass wir uns jetzt auf diesen besonderen Fall beschränken, dass unsere rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 liegen.

Gut und dafür brauchen wir ein paar Hilfsresultate für den weiteren Verlauf. Das erste ist die sogenannte Bernoulli-Ungleichung.

Ich sage, wenn wir eine rationale Zahl haben, die größer gleich minus 1 ist, dann gilt für alle natürlichen Zahlen diese Ungleichung. 1 plus x hoch n ist größer gleich 1 plus n.

Außerdem wollen wir zeigen, dass für eine rationale Zahl, die am Betrag echt kleiner 1 ist, die Folge, Betrag von p hoch n eine Nullfolge ist.

Das heißt, wir lassen hier n gegen unendlich laufen, dann geht sozusagen Betrag von p hoch n gegen Null. Und daraus können wir dann schließen,

dass auch in diesem Falle, dann haben wir die gleichen Voraussetzungen, diese Reihe hier, von n gleich Null bis unendlich, summieren wir p hoch n auf.

Das heißt, 1 plus p plus p² plus p hoch 3 und so weiter, den Grenzwert 1 durch 1 minus p hat. Gut, das möchte ich jetzt im Folgenden zeigen.

Beweis zu Satz 437. Die Bernoulli-Ungleichung lässt sich recht einfach über vollständige Induktion zeigen. Vollständige Induktion bezüglich der natürlichen Zahl n.

Das heißt, wir machen den Induktionsanfang bei 1, überprüfen, ob dort die Aussage stimmt. Und was haben wir für n gleich 1?

Wir haben links 1 plus x ist größer gleich 1 plus x rechts. Also offensichtlich stimmt das hier, wir haben sogar Gleichheit.

Gut, und bei angenommener Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, müssen wir jetzt daraus Schlussfolgern, dass sie auch für den Nachfolger, also für n plus 1 gilt.

Das heißt, wir beginnen mit 1 plus x hoch n plus 1. Das können wir natürlich zerlegen in die Faktoren 1 plus x hoch n mal 1 plus x.

Hierauf wenden wir jetzt unsere Induktionsvoraussetzung an. Das heißt, wir können hier die ausnutzen, dass wir angenommen haben, dass 1 plus x hoch n größer gleich 1 plus nx ist.

Und hier haben wir das. Ja, das multiplizieren wir jetzt aus und haben, das ist dann 1 plus nx plus x plus nx².

Und naja, also dieser letzte Term hier nx² ist in jedem Fall nicht negativ.

Das heißt, wir schätzen weiter nach unten ab, wenn wir den einfach vernachlässigen. Wenn wir diesen vernachlässigen, haben wir hier einen Term 1 plus n plus 1 mal x.

Ja, das ist aber genau den Term, den wir auf der rechten Seite hier haben möchten, wenn wir anstelle n n plus 1 einsetzen.

Ja, also die erste Aussage ist schon bewiesen. Stellt sich die Frage, wer hat hier eine besondere Voraussetzung, dass x größer gleich minus 1 sein soll.

Wo ging das denn ein? Sieht das jemand?

Also bei diesen ganzen hier offensichtlich nicht, aber irgendwo bei diesen Argumentationsstritten muss es wichtig gewesen sein, dass das Argument x größer gleich minus 1 ist.

Nein? Hier. Genau an dieser Stelle. Also zum einen nutzen wir an dieser Stelle die Induktionsvoraussetzung an.

Sagen der Term ist größer gleich der Term, aber es ist wichtig, dass der hier nicht negativ ist. Denn wäre der hier nicht negativ, weil x kleiner echt kleiner minus 1 ist, dann würde sich hier die Ordnung tauschen.

Also aus einem größer gleichen würde ein kleiner gleichen. Ja, also hier ist es ganz besonders entscheidend, dass x größer gleich minus 1 ist.

Gut, kommen wir zur zweiten Aussage hier über die Nullfolge.

Also was war nochmal die Definition einer Nullfolge? Die Definition war, dass für alle beliebig epsilon, und hier wählen wir jetzt eins, ein beliebiges epsilon, größer 0, ist der Betrag der Folgenglieder und in dem Falle wäre es einfach der Betrag von p hoch n, ab einem gewissen groß n kleiner dieses epsilon.

So, wir haben vorausgesetzt, dass der Betrag von p echt kleiner 1 ist.

Das ist gleichbedeutend mit das 1 durch Betrag von p größer 1 ist. Naja, wenn Betrag von, also 1 durch Betrag von p aber größer 1 ist, dann lässt sich diese Zahl aber auch darstellen als 1 plus x.

Das x ist nicht negativ. Also diese Zahl soll echt größer als 1 sein und damit ist es eine 1 plus irgendwas nicht negativ.

Gut, und jetzt aufgrund dieser Tatsache ist gleichbedeutend, dass Betrag von p hoch n kleiner ist als epsilon mit der Aussage, dass Betrag von p, wie das geschrieben, hoch minus n kleiner ist als epsilon.

Könnte man so schreiben, also das hier, was nichts anderes ist als 1 plus x hoch n, dass das größer ist, größer gleich als epsilon hoch minus 1.

So, für ausreichend große, so schreiben, für ausreichend große, großes n, gilt nach dem, was wir oben gezeigt haben, nach der bernoullischen Ungleichung, dass 1 plus x hoch n ist größer als 1 plus nx.

Das gilt nicht nur für ausreichend großes n, das gilt für alle n, wie es hier steht, insbesondere weil der x nicht negativ ist.

Aber was jetzt für ausreichend großes n gilt, ist das folgende, dass das hier tatsächlich größer gleich epsilon hoch minus 1 ist.

Epsilon ist im Allgemeinen eine sehr kleine Zahl, von daher wird 1 durch epsilon eine sehr große Zahl sein und weil aber der Körper q ein archimetischer Körper ist, das war Aussage, Moment, archimetisch, das war der Satz 429.4.

Bedeutet es, dass wir für jede rationale Zahl, die positiv ist, eine natürliche Zahl finden, sodass das Produkt jede andere rationale Zahl überragt.

Das x, das kann sehr klein sein, das 1 durch epsilon, man müsste hier noch diese 1 nach links bringen, also 1 durch epsilon minus 1 ist im Allgemeinen eine sehr große Zahl, nichts desto größer, wenn man n ausreichend groß wählt, überragt das Produkt eben n mal x, dann dieses 1 durch epsilon minus 1.