Wir machen also weiter mit dem, womit wir das letzte Mal aufgehört haben und zwar mit der Konstruktion der reellen Zahlen.

Das war schon ein bisschen abstrakt, denn als reellen Zahlen haben wir verstanden eine Gesamtheit von Cauchy-Folgen,

die untereinander, also deren Differenz, eine Nullfolge bilden.

Das hat uns eine Äquivalenzrelation definiert und über diese Äquivalenzrelation hatten wir dann Äquivalenzklassen

und diese Äquivalenzklassen haben wir nun interpretiert als reelle Zahlen.

Wir haben dann gliedweise Multiplikation und Addition eingeführt, haben gesehen, dass das wohl definiert ist auf dieser Menge von Äquivalenzklassen,

also vom Repräsentanten unabhängig ist und mit dieser Multiplikation und Addition haben wir jetzt,

wie bereits auch schon in der Menge der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen, einen kommutativen Ring mit 1.

Jetzt wollen wir aber die algebraische Struktur hier nicht verlieren, die wir schon hatten in der Menge der rationalen Zahlen,

dort hatten wir sogar einen Körper, das heißt, wir hatten multiplicative Inverse und die müssen wir jetzt irgendwie konstruieren.

Also wenn wir ein Element haben, eine solche Menge von Cauchy folgen, die nicht als reelle Zahl Null interpretiert werden soll,

das heißt, dass es nicht die Äquivalenzklasse der Null folgen, dann möchten wir irgendwie ein multiplicatives Inverses haben.

Gut, und um das einzuführen, führen wir zunächst mal eine Ordnung ein, wie wir es bislang auch bei den anderen Zahlen, Mengen eingeführt hatten.

Und zwar führen wir jetzt nicht zunächst mal diese Ordnungsrelation kleiner gleich ein, sondern erstmal eine Ordnung,

was soll es bedeuten, dass eine reelle Zahl größer als Null ist, dann nennen wir sie positiv.

Und wenn wir das gemacht haben, wenn wir solche Definitionen gemacht haben, dann können wir auch definieren,

was soll es bedeuten, wenn eine reelle Zahl größer als Null ist, dass es gerade entweder größer als Null ist oder gleich Null ist.

Wenn wir das gemacht haben, können wir daraus dann noch definieren, was bedeutet, dass eine reelle Zahl R kleiner als eine andere S ist.

Das ist genau dann, wenn die Differenz S minus R eben größer als Null ist, und das haben wir dann hier oben schon definiert.

Und was soll es bedeuten, wenn zwei Zahlen, wenn R größer als S ist.

Das kann man jetzt entweder hierüber dann wieder definieren, dass es gerade wenn S kleiner als R ist, oder einfach wenn R minus S größer als Null ist,

was auch dann hier oben wieder definiert wäre. Okay, also damit wäre insgesamt alle möglichen Ordnungsverhältnisse definiert.

Größer gleich, kleiner gleich, größer kleiner. Und ja, das Problem ist jetzt ein bisschen, so eine anständige Ordnung zu finden.

Denn unsere reellen Zahlen sind interpretiert, oder sind ja tatsächlich Äquivalenzklassen, also Mengen von Cauchy-Folgen.

Wenn wir uns eine Cauchy-Folge eher nehmen, was soll es bedeuten, dass eine Cauchy-Folge größer ist als Null?

Also zunächst mal können wir nicht sagen, wir nehmen uns nur ganz bestimmte Folgenglieder raus, das erste,

und sagen, wenn das größer ist als Null, dann ist die ganze Cauchy-Folge größer als Null,

und damit vielleicht auch die entsprechende Äquivalenzklasse, also auch die reelle Zahl.

Denn es gibt auch Null-Folgen, bei denen einzelne Folgenglieder größer sind als Null.

Also das bringt uns, das hilft uns nicht weiter, wenn wir einfach nur irgendwelche Annahmen an einzelne Folgenglieder machen.

Es bringt uns aber ungekehrt auch nicht weiter, wenn wir, ja, auf der anderen Seite genauso,

wenn wir sagen, dass einzelne Folgenglieder gleich Null sind, oder vielleicht sogar negativ,

auch dann könnte es ja sein, dass eine Folge, die negativ beginnt, oder mit Null-Elementen beginnt,

irgendwie gegen irgendwas Positives konvergiert.

Was wir im Hinterkopf behalten sollten bei der Definition ist, eigentlich die Motivation, die reellen Zahlen so einzuführen,

als Menge von Cauchy-Folgen. Das war ja, unsere Motivation war ja die Folgende,

wir hatten Cauchy-Folgen verstanden als Folgen, deren Abstände, wo die Folgenglieder untereinander, deren Abstände immer kleiner werden.

Ja, und also so irgendwie einen potenziellen Grenzwert haben. Und diesen potenziellen Grenzwert,

den wollen wir eigentlich als reelle Zahl, oder dass dieser potenzielle Grenzwert war die Motivation

zu unserer Definition dieser reellen Zahlen. Das heißt, was vorne passiert bei den Folgen, sollte uns relativ egal sein,

wir konzentrieren uns darauf, was weit hinten passiert. Also bei den unendlich vielen Folgengliedern weit, weit hinten.

Und genauso definieren wir jetzt diese Ordnung größer Null für reelle Zahlen.

Also sei eine reelle Zahl gegeben, also eine solche Äquivalenzklasse, dann sagen wir, diese Äquivalenzklasse ist größer Null,

wenn es eine beliebig kleine Zahl Epsilon gibt, die ist jetzt rational, und ein N, sodass ab diesem N alle Folgenglieder,

das sind rationale Folgenglieder, also rationale Zahlen, hier gibt es schon eine Ordnung größer ist als dieses Epsilon quer.

Diese kleine Zahl. Also wenn wir uns im Kopf nochmal daran erinnern, dass dieser potenzielle Grenzwert, dieser Cauchy Folgen,

das meinetwegen vielleicht ein Wurzel 2 oder so etwas sein soll, oder auch ein tatsächlicher rationaler Grenzwert, der ist größer Null.

Also falls dieser größer Null ist, dann gibt es natürlich auch eine Zahl, das wäre hier dieses Epsilon quer,

zwischen diesem Grenzwert oder nur potenziellen Grenzwert und der Null. Das wäre dieses Epsilon quer.

Und jetzt soll es ein N geben, sodass ab diesem Folgenglied groß N, alle Folgenglieder, oder ab diesem Indexgroß N,