Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also, was wir letztes Mal gesehen haben, ist, dass man aufbauend auf eine mehr oder

minder exakte Fundierung der Mengenlehre so etwas wie ein geordnetes Tupel, wie ein geordnetes

Paar und darüber hinaus geordnete 3, 4 n-Tupel definieren kann und auf dieser Basis über den

Begriff der Relation insbesondere klar fassen kann, was eine Abbildung ist.

Der Abbildungsbegriff ist mit riesigem Abstand der wichtigste Begriff der Mathematik überhaupt.

Insofern fand ich das sehr, sehr irritierend, was jetzt natürlich keine Kritik an Ihnen ist,

sondern vielleicht an dem, was an der Schule gemacht wird, dass sie mit diesem Begriff nicht

zentral vertraut sind. Diese Vorstellung, dass etwas zugeordnet wird, ist eine völlig

legitime Vorstellung, ist aber eben nur eine Vorstellung. Und was es exakt bedeutet,

haben wir gefasst. Wir haben gesehen, eine Abbildung, wenn wir eine Abbildung haben,

muss das nicht bedeuten, dass jedes Element im Wertebereich auch als Bild auftritt. Wenn das

der Fall ist, haben wir die Abbildung surjektiv genannt und wir haben auch gesehen, dass es nicht

bedeuten muss, dass nicht verschiedene Elemente im Definitionsbereich auf das gleiche Element

abgebildet werden. Wenn das nicht der Fall ist, also wenn ich aus der Verschiedenheit der x auf die

Verschiedenheit der f x schließen kann oder wenn ich aus der Gleichheit der f x auf die Gleichheit

der x schließen kann, dann nennen wir so eine Abbildung injektiv. Und wenn beides zusammen haben,

dann heißt das ja im Wesentlichen, die Abbildung ist eine eins zu eins Abbildung, die wir vorwärts

und rückwärts schauen können. Das heißt, sie hat eine Umkehrabbildung und die Umkehrabbildung

haben wir genau über diese Beziehungen, die hier stehen, charakterisiert. Das heißt, wenn ich

überprüfen will, dass eine Abbildung bijektiv ist, muss ich sozusagen nur eine Umkehrabbildung

finden, von der ich dann auch weiß, es ist die Umkehrabbildung. Das heißt also, wenn ich zum

Beispiel überprüfen will und ich gehe mal davon aus, dass sie das in der Übung gemacht haben,

wenn ich zum Beispiel diese Relation hier überprüfen will, wenn ich also folgern will, ich habe eine

bijektive Abbildung f, die hat also eine Umkehrabbildung f hoch minus eins und wenn ich dann folgern will,

auch diese Umkehrabbildung ist bijektiv und hat wiederum eine Umkehrabbildung, nämlich gerade f,

das ist das, was hier steht. Wie zeige ich das? Wie zeige ich das auf der Basis dieser Gleichungen hier?

Was muss ich machen? Ich muss mir das f hoch minus eins anschauen und muss zu diesem f hoch minus

eins sozusagen ein g finden, das die Eigenschaft hat f hoch minus eins kringel g gleich Identität und

g kringel f hoch minus eins gleich Identität. Dann weiß ich, nachdem wir es letztes mal ausführlich

bewiesen haben, diese Abbildung f hoch minus eins ist umkehrbar und ich weiß auch schon die

Umkehrabbildung, die Umkehrabbildung, die eindeutige Umkehrabbildung, nehme ich dann eben dieses g.

Schauen Sie einfach mal hin, wie heißt das g? Wir müssen uns nur die zwei Zeilen anschauen und die

Zeilen sozusagen nicht aus der Sicht von f lesen, sondern aus der Sicht von f hoch minus eins lesen.

Was sagten uns diese zwei Zeilen dann? Nein, das wäre es, wenn wir es aus der Sicht von f lesen

würden. Ja, dass g gleich f ist, denn da steht ja, zu f hoch minus eins gibt es eine Abbildung,

nämlich das f, was genau diese Eigenschaft hat, f hoch minus eins kringel f gleich Identität und f

kringel f hoch minus eins gleich Identität. Daraus folgt aus dem Satz, in der Ausführlichbeweisung,

erstens, dass f hoch minus eins ist umkehrbar und zweitens, was ist die Umkehrabbildung,

nämlich die dann eindeutige Abbildung, die diese Relation erfüllt und die Abbildung ist dann f.

Damit haben wir gezeigt, f hoch minus eins hoch minus eins ist f und genauso zeigen wir zum Beispiel

diese Beziehung, dass die Umkehrabbildung, wenn ich zwei bijektive Abbildungen habe,

die hintereinander ausführe, dann ist die Behauptung, dann entsteht wieder eine biaktive

Abbildung und die Umkehrabbildung entsteht einfach aus der Komposition der Umkehrabbildung. Jetzt muss

man natürlich hier die Reihenfolge beachten, deswegen dreht sich das jetzt hier um. Das Argument

ist exakt das Gleiche. Man möchte zeigen, dass diese Abbildung, vielleicht machen wir es nochmal,

das ist glaube ich ein sehr zentraler Punkt, der was mit was ist mathematisches Denken zu tun hat.

Vielleicht machen wir das einfach nochmal. Also Beweis Satz 1,15. Also die Behauptung ist,

zu zeigen ist f Kringel g unter den genannten Voraussetzungen ist bijektiv und die Umkehrabbildung

ist g hoch minus eins Kringel f hoch minus eins. Wie mache ich das? Also ich suche sozusagen ein h,